На каком рисунке окружность вписана в треугольник?
Если окружность вписана в треугольник,
то треугольник описан около окружности.
Теорема. В треугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Её центр – точка пересечения биссектрис треугольника.
Дано: АВС
Доказать: существует Окр.(О; r),
вписанная в треугольник
Доказательство:
Проведём биссектрисы треугольника:АА 1 , ВВ 1 , СС 1 .
По свойству (замечательная точка треугольника)
биссектрисы пересекаются в одной точке – О,
и эта точка равноудалена от всех сторон треугольника, т. е:
ОК = ОЕ = ОР, где ОК АВ, ОЕ ВС, ОР АС, значит,
О – центр окружности, а АВ, ВС, АС – касательные к ней.
Значит, окружность вписана в АВС.
Дано: Окр.(О; r) вписана в АВС,
р = ½ (АВ + ВС + АС) – полупериметр.
Доказать: S ABC = p · r
Доказательство:
соединим центр окружности с вершинами
треугольника и проведём радиусы
окружности в точки касания.
Эти радиусы являются
высотами треугольников АОВ, ВОС, СОА.
S ABC = S AOB +S BOC + S AOC = ½ AB · r + ½ BC · r + ½ AC · r =
= ½ (AB + BC + AC) · r = ½ p · r.
Задача: в равносторонний треугольник со стороной 4 см
вписана окружность. Найдите её радиус.
Вывод формулы для радиуса вписанной в треугольник окружности
S = p · r = ½ P · r = ½ (a + b + c) · r
2S = (a + b + c) · r
Нужная формула для радиуса окружности,
вписанной в прямоугольный треугольник
- катеты, с - гипотенуза
Определение: окружность называется вписанной в четырёхугольник, если все стороны четырёхугольника касаются её.
На каком рисунке окружность вписана в четырёхугольник:
Теорема: если в четырёхугольник вписана окружность,
то суммы противоположных сторон
четырёхугольника равны ( в любом описанном
четырёхугольнике суммы противоположных
сторон равны).
АВ + СК = ВС + АК.
Обратная теорема: если суммы противоположных сторон
выпуклого четырёхугольника равны,
то в него можно вписать окружность.
Задача: в ромб, острый угол которого 60 0 , вписана окружность,
радиус которой равен 2 см. Найти периметр ромба.
Реши задачи
Дано: Окр.(О; r) вписана в АВСК,
Р АВСК = 10
Найти: ВС + АК
Дано: АВСМ описан около Окр.(О; r)
BC = 6, AM = 15,
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Описанная окружность
Определение: окружность называется описанной около треугольника, если все вершины треугольника лежат на этой окружности. На каком рисунке окружность описана около треугольника: 1) 2) 3) 4) 5) Если окружность описана около треугольника, то треугольник вписан в окружность.
Теорема. Около треугольника можно описать окружность, и притом только одну. Её центр – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. А В С Дано: АВС Доказать: существует Окр.(О; r) , описанная около АВС. Доказательство: Проведём серединные перпендикуляры p, k,n к сторонам АВ, ВС, АС По свойству серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (замечательная точка треугольника): они пересекаются в одной точке – О, для которой ОА = ОВ = ОС. Т. е. все вершины треугольника равноудалены от точки О, значит, они лежат на окружности с центром О. Значит, окружность описана около треугольника АВС. О n p k
Важное свойство: Если окружность описана около прямоугольного треугольника, то её центр – середина гипотенузы. O R R C A B R = ½ AB Задача: найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, катеты которого равны 3 см и 4 см. Центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника, лежит вне треугольника.
a b c R R = Формулы для радиуса описанной около треугольника окружности Задача: найти радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, сторона которого равна 4 см. Решение: R = R = , Ответ: см (см)
Задача: в окружность, радиус которой 10 см, вписан равнобедренный треугольник. Высота, проведённая к его основанию равна 16 см. Найти боковую сторону и площадь треугольника. А В С О Н Решение: Т. к. окружность описана около равнобедренного треугольника АВС, то центр окружности лежит на высоте ВН. АО = ВО = СО = 10 см, ОН = ВН – ВО = = 16 – 10 = 6 (см) АОН – прямоугольный, АО 2 = АН 2 + АН 2 , АН 2 = 10 2 – 6 2 = 64, АН = 8 см АВН – прямоугольный, АВ 2 = АН 2 + ВН 2 = 8 2 + 16 2 = 64 + 256= 320, АВ = (см) АС = 2АН = 2 · 8 = 16 (см), S АВС = ½ АС · ВН = ½ · 16 · 16 = 128 (см 2) Ответ: АВ = см S = 128 см 2 , Найти: АВ, S АВС Дано: АВС- р/б, ВН АС, ВН = 16 см Окр.(О; 10 см) описана около АВС
Определение: окружность называется описанной около четырёхугольника, если все вершины четырёхугольника лежат на окружности. Теорема. Если около четырёхугольника описана окружность, то сумма его противоположных углов равна 180 0 . Доказательство: Т. к. окружность описана около АВС D , то А, В, С, D – вписанные, значит, А + C = ½ BCD + ½ BAD = ½ (BCD + BAD) = ½ · 360 0 = 180 0 B+ D = ½ ADC + ½ ABC = ½ (ADC+ ABC) = ½ · 360 0 = 180 0 A + C = B + D = 180 0 Дано: Окр.(О; R) описана около АВС D Доказать: Значит, A + C = B + D = 180 0 Другая формулировка теоремы: во вписанном в окружность четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 . A B C D О
Обратная теорема: если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность. Дано: АВС D, A + C = 180 0 A B C D О Доказать: Окр.(О; R) описана около АВС D Доказательство: № 729 (учебник) Вокруг какого четырёхугольника нельзя описать окружность?
Следствие 1: около любого прямоугольника можно описать окружность, её центр – точка пересечения диагоналей. Следствие 2: около равнобедренной трапеции можно описать окружность. А В С К
Реши задачи 80 0 120 0 ? ? А В С М К Н О Р Е 70 0 Найти углы четырёхугольника РКЕН: 80 0
OA=OB O b => OB=OC => O серединному перпендикуляру к AC => около тр. ABC можно описать окружность ba =>OA=OC =>" title="Теорема 1 Доказательство: 1) а – серединный перпендикуляр к АВ 2) b – серединный перпендикуляр к BC 3) ab=O 4) O a => OA=OB O b => OB=OC => O серединному перпендикуляру к AC => около тр. ABC можно описать окружность ba =>OA=OC =>" class="link_thumb"> 8 Теорема 1 Доказательство: 1) а – серединный перпендикуляр к АВ 2) b – серединный перпендикуляр к BC 3) ab=O 4) O a => OA=OB O b => OB=OC => O серединному перпендикуляру к AC => около тр. ABC можно описать окружность ba =>OA=OC => OA=OB O b => OB=OC => O серединному перпендикуляру к AC => около тр. ABC можно описать окружность ba =>OA=OC =>"> OA=OB O b => OB=OC => O серединному перпендикуляру к AC => около тр. ABC можно описать окружность ba =>OA=OC =>"> OA=OB O b => OB=OC => O серединному перпендикуляру к AC => около тр. ABC можно описать окружность ba =>OA=OC =>" title="Теорема 1 Доказательство: 1) а – серединный перпендикуляр к АВ 2) b – серединный перпендикуляр к BC 3) ab=O 4) O a => OA=OB O b => OB=OC => O серединному перпендикуляру к AC => около тр. ABC можно описать окружность ba =>OA=OC =>"> title="Теорема 1 Доказательство: 1) а – серединный перпендикуляр к АВ 2) b – серединный перпендикуляр к BC 3) ab=O 4) O a => OA=OB O b => OB=OC => O серединному перпендикуляру к AC => около тр. ABC можно описать окружность ba =>OA=OC =>">
Свойства треугольника и трапеции, вписанных в окружность Центр окр-ти, описанной около п/у тр- ка, лежит на середине гипотенузы Центр окр-ти, описанной около остроугольного тр-ка, лежит в тр-ке Центр окр-ти, описанной около тупоугольного тр-ка, не лежит в тр-ке Если около трапеции можно описать окр-ть, то она равнобедренная
