>>Математика: Функции у = sin х, у = cos x, их свойства и графики
Функции у = sin х, у = cos x, их свойства и графики
В этом параграфе мы обсудим некоторые свойства функций у = sin х,у = соs х и построим их графики.
1. Функция у = sin X.
Выше, в § 20, мы сформулировали правило, позволяющее каждому числу t поставить в соответствие число cos t, т.е. охарактеризовали функцию y = sin t. Отметим некоторые ее свойства.
Свойства функции u = sin t.
Область определения - множество К действительных чисел.
Это следует из того, что любому числу 2 соответствует на числовой окружности точка М(1), которая имеет вполне определенную ординату; эта ордината и есть cos t.
u = sin t - нечетная функция.
Это следует из того, что, как было доказано в § 19, для любого t выполняется равенство
Значит, график функции и = sin t, как график любой нечетной функции, симметричен относительно начала координат в прямоугольной системе координат tOи.
Функция u = sin t возрастает на отрезке 
Это следует из того, что при движении точки по первой четверти числовой окружности ордината постепенно увеличивается (от 0 до 1 - см. рис. 115), а при движении точки по второй четверти числовой окружности ордината постепенно уменьшается (от 1 до 0 - см. рис. 116).
Функция u = sin t ограничена и снизу, и сверху. Это следует из того, что, как мы видели в § 19, для любого t справедливо неравенство
(этого значения функция достигает в любои точке вида
(этого значения функция достигает в любой точке вида
Воспользовавшись полученными свойствами, построим график интересующей нас функции. Но (внимание!) вместо u - sin t будем писать у = sin x (ведь нам привычнее запись у = f(х), а не u = f(t)). Значит, и строить график будем в привычной системе координат хОу (а не tOy).
Составим таблицу значений функции у - sin х:
Замечание.
Приведем одну из версий происхождения термина «синус». По-латыни sinus означает изгиб (тетива лука).
Построенный график в какой-то степени оправдывает эту терминологию.
Линию, служащую графиком функции у = sin х, называют синусоидой. Ту часть синусоиды, которая изображена на рис. 118 или 119, называют волной синусоиды, а ту часть синусоиды, которая изображена на рис. 117, называют полуволной или аркой синусоиды.
2. Функция у = соs х.
Изучение функции у = соs х можно было бы провести примерно по той же схеме, которая была использована выше для функции у = sin х. Но мы выберем путь, быстрее приводящий к цели. Сначала докажем две формулы , важные сами по себе (в этом вы убедитесь в старших классах), но пока имеющие для наших целей лишь вспомогательное значение.
Для любого значения t справедливы равенства
Доказательство
. Пусть числу t соответствует точка М числовой n окружности, а числу * + - -точка Р (рис. 124; ради простоты мы взяли точку М в первой четверти). Дуги АМ и ВР равны, соответственно равны и прямоугольные треугольники ОКМ и ОЬР. Значит, О К = ОЬ, МК = РЬ. Из этих равенств и из расположения треугольников ОКМ и ОЬР в системе координат делаем два вывода:
1) ордината точки Р и по модулю и по знаку совпадает с абсциссой точки М; это значит, что
2) абсцисса точки Р по модулю равна ординате точки М, но отличается от нее знаком; это значит, что
Примерно так же проводятся соответствующие рассуждения в тех случаях, когда точка М принадлежит не первой четверти.
Воспользуемся формулой 
(это - формула, доказанная выше, только вместо переменной t мы используем переменную х). Что дает нам эта формула? Она позволяет утверждать, что функции
тождественны, значит, их графики совпадают.
Построим график функции
Для этого перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (пунктирная прямая проведена на рис. 125). Привяжем функцию у = sin х к новой системе координат - это и будет график функции 
(рис. 125), т.е. график функции у - соs х. Его, как и график функции у = sin х, называют синусоидой (что вполне естественно).
Свойства функции у = соs х.
у = соs х - четная функция.
Этапы построения отражены на рис. 126:
1) строим график функции у = соs х (точнее, одну полуволну);
2) растянув построенный график от оси х с коэффициентом 0,5, получим одну полуволну требуемого графика;
3) с помощью полученной полуволны строим весь график функции у = 0,5 соs х.
|BD|
- длина дуги окружности с центром в точке A
.
α
- угол, выраженный в радианах.
Синус (sin
α
) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине гипотенузы |AC|.
Косинус (cos
α
) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине гипотенузы |AC|.
Принятые обозначения
;
;
.
;
;
.
График функции синус, y = sin x
График функции косинус, y = cos x
Свойства синуса и косинуса
Периодичность
Функции y = sin x и y = cos x периодичны с периодом 2 π .
Четность
Функция синус - нечетная. Функция косинус - четная.
Область определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание
Функции синус и косинус непрерывны на своей области определения, то есть для всех x (см. доказательство непрерывности). Их основные свойства представлены в таблице (n - целое).
| y = sin x | y = cos x | |
| Область определения и непрерывность | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Область значений | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Возрастание | ||
| Убывание | ||
| Максимумы, y = 1 | ||
| Минимумы, y = -1 | ||
| Нули, y = 0 | ||
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Основные формулы
Сумма квадратов синуса и косинуса
Формулы синуса и косинуса от суммы и разности
;
;
Формулы произведения синусов и косинусов
Формулы суммы и разности
Выражение синуса через косинус
;
;
;
.
Выражение косинуса через синус
;
;
;
.
Выражение через тангенс
; .
При ,
имеем:
;
.
При :
;
.
Таблица синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов
В данной таблице представлены значения синусов и косинусов при некоторых значениях аргумента. 
Выражения через комплексные переменные
;
Формула Эйлера
Выражения через гиперболические функции
;
;
Производные
; . Вывод формул > > >
Производные n-го порядка:
{ -∞ <
x < +∞ }
Секанс, косеканс
Обратные функции
Обратными функциями к синусу и косинусу являются арксинус и арккосинус , соответственно.
Арксинус, arcsin
Арккосинус, arccos
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
, Конкурс «Презентация к уроку»
Презентация к уроку
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Железо ржавеет, не находя себе применения,
стоячая вода гниет или на холоде замерзает,
а ум человека, не находя себе применения, чахнет.
Леонардо да Винчи
Используемые технологии: проблемного обучения, критического мышления, коммуникативного общения.
Цели:
- Развитие познавательного интереса к обучению.
- Изучение свойств функции у = sin x.
- Формирование практических навыков построения графика функции у = sin x на основе изученного теоретического материала.
Задачи:
1. Использовать имеющийся потенциал знаний о свойствах функции у = sin x в конкретных ситуациях.
2. Применять осознанное установление связей между аналитической и геометрической моделями функции у = sin x.
Развивать инициативу, определенную готовность и интерес к поиску решения; умение принимать решения, не останавливаться на достигнутом, отстаивать свою точку зрения.
Воспитывать у учащихся познавательную активность, чувство ответственности, уважения друг к другу, взаимопонимания, взаимоподдержки, уверенности в себе; культуру общения.
Ход урока
1 этап. Актуализация опорных знаний, мотивация изучения нового материала
"Вход в урок".
На доске написаны 3 утверждения:
- Тригонометрическое уравнение sin t = a всегда имеет решения.
- График нечетной функции можно построить с помощью преобразования симметрии относительно оси Оу.
- График тригонометрической функции можно построить, используя одну главную полуволну.
Учащиеся обсуждают в парах: верны ли утверждения? (1 минута). Затем результаты первоначального обсуждения (да, нет) вносятся в таблицу в столбец "До".
Учитель ставит цели и задачи урока.
2. Актуализация знаний (фронтально на модели тригонометрического круга ).
Мы уже познакомились с функцией s = sin t.
1) Какие значения может принимать переменная t. Какова область определения этой функции?
2) В каком промежутке заключены значения выражения sin t. Найти наибольшее и наименьшее значения функции s = sin t.
3) Решите уравнение sin t = 0.
4) Что происходит с ординатой точки при ее движении по первой четверти? (ордината увеличивается). Что происходит с ординатой точки при ее движении по второй четверти? (ордината постепенно уменьшается). Как это связано с монотонностью функции? (функция s = sin t возрастает на отрезке и убывает на отрезке ).
5) Запишем функцию s = sin t в привычном для нас виде у = sin x (строить будем в привычной системе координат хОу) и составим таблицу значений этой функции.
| х | 0 | ||||||
| у | 0 | 1 | 0 |
2 этап. Восприятие, осмысление, первичное закрепление, непроизвольное запоминание
4 этап. Первичная систематизация знаний и способов деятельности, их перенос и применение в новых ситуациях
6. № 10.18 (б,в)
5 этап. Итоговый контроль, коррекция, оценка и самооценка
7. Возвращаемся к утверждениям (начало урока), обсуждаем, используя свойства тригонометрической функции у = sin x, и заполняем в таблице столбец "После".
8. Д/з: п.10, №№ 10.7(а), 10.8(б), 10.11(б), 10.16(а)
На этом уроке мы подробно рассмотрим функцию у = sin х, ее основные свойства и график. В начале урока дадим определение тригонометрической функции у = sin t на координатной окружности и рассмотрим график функции на окружности и прямой. Покажем периодичность этой функции на графике и рассмотрим основные свойства функции. В конце урока решим несколько простейших задач с использованием графика функции и ее свойств.
Тема: Тригонометрические функции
Урок: Функция y=sinx, её основные свойства и график
При рассмотрении функции важно каждому значению аргумента поставить в соответствие единственное значение функции. Этот закон соответствия и называется функцией.
Определим закон соответствия для .
Любому действительному числу соответствует единственная точка на единичной окружности У точки есть единственная ордината, которая и называется синусом числа (рис. 1).
Каждому значению аргумента ставится в соответствие единственное значение функции.
Из определения синуса вытекают очевидные свойства.
На рисунке видно, что 
т.к. это ордината точки единичной окружности.
Рассмотрим график функции . Вспомним геометрическую интерпретацию аргумента. Аргумент - это центральный угол, измеряемый в радианах. По оси мы будем откладывать действительные числа или углы в радианах, по оси соответствующие значения функции.
Например, угол на единичной окружности соответствует точке на графике (рис. 2)
Мы получили график функции на участке Но зная период синуса мы можем изобразить график функции на всей области определения (рис. 3).
Основным периодом функции является Это значит, что график можно получить на отрезке а затем продолжить на всю область определения.
Рассмотрим свойства функции :
1) Область определения:
2) Область значений: 
3) Функция нечетная:
4) Наименьший положительный период:
5) Координаты точек пересечения графика с осью абсцисс: 
6) Координаты точки пересечения графика с осью ординат:
7) Промежутки, на которых функция принимает положительные значения:
8) Промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения:
9) Промежутки возрастания:
10) Промежутки убывания:
11) Точки минимума: 
12) Минимум функции:
13) Точки максимума: 
14) Максимум функции:
Мы рассмотрели свойства функции и её график. Свойства неоднократно будут использоваться при решении задач.
Список литературы
1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
Домашнее задание
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред.
А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Дополнительные веб-ресурсы
3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам ().
ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Функция синус
— множество R
всех действительных чисел.
Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. синус функция — ограниченная .
Функция нечетная:
sin(−x)=−sin x для всех х ∈ R
.
Функция периодическая
sin(x+2π· k) = sin x, где k ∈ Z для всех х ∈ R .
sin x = 0 при x = π·k , k ∈ Z .
sin x > 0 (положительная) для всех x ∈ (2π·k , π+2π·k ), k ∈ Z .
sin x < 0 (отрицательная) для всех x ∈ (π+2π·k , 2π+2π·k ), k ∈ Z .
Функция косинус
Область определения функции
— множество R
всех действительных чисел.
Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. косинус функция — ограниченная .
Функция четная:
cos(−x)=cos x для всех х ∈ R
.
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π :
cos(x+2π· k ) = cos x, где k ∈ Z для всех х ∈ R .
| cos x = 0 при |  |
| cos x > 0 для всех |  |
| cos x < 0 для всех |  |
| Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках: | |
| Функция убывает от −1 до 1 на промежутках: | |
| Наибольшее значение функции sin x = 1 в точках: |  |
| Наименьшее значение функции sin x = −1 в точках: |
Функция тангенс
Множество значений функции — вся числовая прямая, т.е. тангенс — функция неограниченная .
Функция нечетная:
tg(−x)=−tg x
График функции симметричен относительно оси OY.
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π , т.е. tg(x+π· k ) = tg x, k ∈ Z для всех х из области определения.
Функция котангенс
Множество значений функции — вся числовая прямая, т.е. котангенс — функция неограниченная .
Функция нечетная: ctg(−x)=−ctg x для всех х из области определения.График функции симметричен относительно оси OY.
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π , т.е. ctg(x+π· k )=ctg x, k ∈ Z для всех х из области определения.
Функция арксинус
Область определения функции
— отрезок [-1; 1]
Множество значений функции — отрезок -π /2 arcsin x π /2, т.е. арксинус — функция ограниченная .
Функция нечетная:
arcsin(−x)=−arcsin x для всех х ∈ R
.
График функции симметричен относительно начала координат.
На всей области определения.
Функция арккосинус
Область определения функции
— отрезок [-1; 1]
Множество значений функции — отрезок 0 arccos x π , т.е. арккосинус — функция ограниченная .
Функция является возрастающей на всей области определения.
Функция арктангенс
Область определения функции
— множество R
всех действительных чисел.
Множество значений функции — отрезок 0 π, т.е. арктангенс — функция ограниченная .
Функция нечетная:
arctg(−x)=−arctg x для всех х ∈ R
.
График функции симметричен относительно начала координат.
Функция является возрастающей на всей области определения.
Функция арккотангенс
Область определения функции
— множество R
всех действительных чисел.
Множество значений функции — отрезок 0 π, т.е. арккотангенс — функция ограниченная .
Функция не является ни четной, ни нечетной.
График функции несимметричен ни относительно начала координат, ни относительно оси Оy.
Функция является убывающей на всей области определения.