Арксинус (y = arcsin
x
)
- это функция, обратная к синусу (x = sin
y
-1 ≤
x ≤ 1
и множество значений -π/2 ≤
y ≤ π/2
.
sin(arcsin
x)
= x
arcsin(sin
x)
= x
Арксинус иногда обозначают так:
.
График функции арксинус
График функции y = arcsin x
График арксинуса получается из графика синуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арксинуса.
Арккосинус, arccos
Арккосинус (y = arccos
x
)
- это функция, обратная к косинусу (x = cos
y
). Он имеет область определения -1 ≤
x ≤ 1
и множество значений 0 ≤
y ≤ π
.
cos(arccos
x)
= x
arccos(cos
x)
= x
Арккосинус иногда обозначают так:
.
График функции арккосинус
График функции y = arccos x
График арккосинуса получается из графика косинуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккосинуса.
Четность
Функция арксинус является нечетной:
arcsin(-
x)
=
arcsin(-sin arcsin
x)
=
arcsin(sin(-arcsin
x))
=
- arcsin
x
Функция арккосинус не является четной или нечетной:
arccos(-
x)
=
arccos(-cos arccos
x)
=
arccos(cos(π-arccos
x))
=
π - arccos
x ≠ ± arccos
x
Свойства - экстремумы, возрастание, убывание
Функции арксинус и арккосинус непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арксинуса и арккосинуса представлены в таблице.
| y = arcsin x | y = arccos x | |
| Область определения и непрерывность | - 1 ≤ x ≤ 1 | - 1 ≤ x ≤ 1 |
| Область значений | ||
| Возрастание, убывание | монотонно возрастает | монотонно убывает |
| Максимумы | ||
| Минимумы | ||
| Нули, y = 0 | x = 0 | x = 1 |
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 0 | y = π/2 |
Таблица арксинусов и арккосинусов
В данной таблице представлены значения арксинусов и арккосинусов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.
| x | arcsin x | arccos x | ||
| град. | рад. | град. | рад. | |
| - 1 | - 90° | - | 180° | π |
| - | - 60° | - | 150° | |
| - | - 45° | - | 135° | |
| - | - 30° | - | 120° | |
| 0 | 0° | 0 | 90° | |
| 30° | 60° | |||
| 45° | 45° | |||
| 60° | 30° | |||
| 1 | 90° | 0° | 0 | |
≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386
Формулы
Формулы суммы и разности
при или
при и
при и
при или
при и
при и
при
при
при
при
Выражения через логарифм, комплексные числа
Выражения через гиперболические функции
Производные
;
.
См. Вывод производных арксинуса и арккосинуса > > >
Производные высших порядков
:
,
где - многочлен степени .
Он определяется по формулам:
;
;
.
См. Вывод производных высших порядков арксинуса и арккосинуса > > >
Интегралы
Делаем подстановку x = sin
t
.
Интегрируем по частям, учитывая что -π/2
≤ t ≤ π/2
,
cos
t ≥ 0
:
.
Выразим арккосинус через арксинус:
.
Разложение в ряд
При |x| < 1
имеет место следующее разложение:
;
.
Обратные функции
Обратными к арксинусу и арккосинусу являются синус и косинус , соответственно.
Следующие формулы справедливы на всей области определения:
sin(arcsin
x)
= x
cos(arccos
x)
= x
.
Следующие формулы справедливы только на множестве значений арксинуса и арккосинуса:
arcsin(sin
x)
= x
при
arccos(cos
x)
= x
при .
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Арктангенс (y = arctg
x
)
- это функция, обратная к тангенсу (x = tg
y
tg(arctg
x)
= x
arctg(tg
x)
= x
Арктангенс обозначается так:
.
График функции арктангенс
График функции y = arctg x
График арктангенса получается из графика тангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, множество значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арктангенса.
Арккотангенс, arcctg
Арккотангенс (y = arcctg
x
)
- это функция, обратная к котангенсу (x = ctg
y
). Он имеет область определения и множество значений .
ctg(arcctg
x)
= x
arcctg(ctg
x)
= x
Арккотангенс обозначается так:
.
График функции арккотангенс
График функции y = arcctg x
График арккотангенса получается из графика котангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккотангенса.
Четность
Функция арктангенс является нечетной:
arctg(-
x)
=
arctg(-tg arctg
x)
=
arctg(tg(-arctg
x))
=
- arctg
x
Функция арккотангенс не является четной или нечетной:
arcctg(-
x)
=
arcctg(-ctg arcctg
x)
=
arcctg(ctg(π-arcctg
x))
=
π - arcctg
x ≠ ± arcctg
x
.
Свойства - экстремумы, возрастание, убывание
Функции арктангенс и арккотангенс непрерывны на своей области определения, то есть для всех x . (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арктангенса и арккотангенса представлены в таблице.
| y = arctg x | y = arcctg x | |
| Область определения и непрерывность | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Множество значений | ||
| Возрастание, убывание | монотонно возрастает | монотонно убывает |
| Максимумы, минимумы | нет | нет |
| Нули, y = 0 | x = 0 | нет |
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 0 | y = π/2 |
| - | π | |
| 0 |
Таблица арктангенсов и арккотангенсов
В данной таблице представлены значения арктангенсов и арккотангенсов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.
| x | arctg x | arcctg x | ||
| град. | рад. | град. | рад. | |
| - ∞ | - 90° | - | 180° | π |
| - | - 60° | - | 150° | |
| - 1 | - 45° | - | 135° | |
| - | - 30° | - | 120° | |
| 0 | 0° | 0 | 90° | |
| 30° | 60° | |||
| 1 | 45° | 45° | ||
| 60° | 30° | |||
| + ∞ | 90° | 0° | 0 | |
≈ 0,5773502691896258
≈ 1,7320508075688772
Формулы
Формулы суммы и разности
при
при
при
при
при
при
Выражения через логарифм, комплексные числа
,
.
Выражения через гиперболические функции
Производные
См. Вывод производных арктангенса и арккотангенса > > >
Производные высших порядков
:
Пусть .
Тогда производную n-го порядка арктангенса можно представить одним из следующих способов:
;
.
Символ означает мнимую часть стоящего следом выражения.
См. Вывод производных высших порядков арктангенса и арккотангенса > > >
Там же даны формулы производных первых пяти порядков.
Аналогично для арккотангенса. Пусть .
Тогда
;
.
Интегралы
Делаем подстановку x = tg
t
и интегрируем по частям:
;
;
;
Выразим арккотангенс через арктангенс:
.
Разложение в степенной ряд
При |x| ≤ 1
имеет место следующее разложение:
;
.
Обратные функции
Обратными к арктангенсу и арккотангенсу являются тангенс и котангенс , соответственно.
Следующие формулы справедливы на всей области определения:
tg(arctg
x)
= x
ctg(arcctg
x)
= x
.
Следующие формулы справедливы только на множестве значений арктангенса и арккотангенса:
arctg(tg
x)
= x
при
arcctg(ctg
x)
= x
при .
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Урок и презентация на темы: "Арксинус. Таблица арксинусов. Формула y=arcsin(x)"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса от 1С
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение в пространстве
Что будем изучать:
1. Что такое арксинус?
2. Обозначение арксинуса.
3. Немного истории.
4. Определение.
6. Примеры.
Что такое арксинус?
Ребята, мы с вами уже научились решать уравнения для косинуса, давайте теперь научимся решать подобные уравнения и для синуса. Рассмотрим sin(x)= √3/2. Для решения этого уравнения требуется построить прямую y= √3/2 и посмотреть: в каких точках она пересекает числовую окружность. Видно, что прямая пересекает окружность в двух точках F и G. Эти точки и будут решением нашего уравнения. Переобозначим F как x1, а G как x2. Решение этого уравнения мы уже находили и получили: x1= π/3 + 2πk,
а x2= 2π/3 + 2πk.
Решить данное уравнение довольно просто, но как решить, например, уравнение
sin(x)= 5/6. Очевидно, что это уравнение будет иметь также два корня, но какие значения будут соответствовать решению на числовой окружности? Давайте внимательно посмотрим на наше уравнение sin(x)= 5/6.
Решением нашего уравнения будут две точки: F= x1 + 2πk и G= x2 + 2πk,
где x1 – длина дуги AF, x2 – длина дуги AG.
Заметим: x2= π - x1, т.к. AF= AC - FC, но FC= AG, AF= AC - AG= π - x1.
Но, что это за точки?
Столкнувшись с подобной ситуацией, математики придумали новый символ – arcsin(x). Читается, как арксинус.
Тогда решение нашего уравнения запишется так: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).
И решение в общем виде: x= arcsin(5/6) + 2πk и x= π - arcsin(5/6) + 2πk.
Арксинус - это угол (длина дуги AF, AG) синус, которого равен 5/6.
Немного истории арксинуса
_3.jpg)
История происхождения нашего символа совершенно такая же, как и у arccos. Впервые символ arcsin появляется в работах математика Шерфера и известного французского ученого Ж.Л. Лагранжа. Несколько ранее понятие арксинус рассматривал Д. Бернули, правда записывал его другими символами.
Общепринятыми эти символы стали лишь в конце XVIII столетия. Приставка "arc" происходит от латинского "arcus" (лук, дуга). Это вполне согласуется со смыслом понятия: arcsin x - это угол (а можно сказать и дуга), синус которого равен x.
Определение арксинуса
Если |а|≤ 1, то arcsin(a) – это такое число из отрезка [- π/2; π/2], синус которого равен а.
_2.jpg)
Если |а|≤ 1, то уравнение sin(x)= a имеет решение: x= arcsin(a) + 2πk и
x= π - arcsin(a) + 2πk
_3.jpg)
Перепишем:
x= π - arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).
Ребята, посмотрите внимательно на два наших решения. Как думаете: можно ли их записать общей формулой? Заметим, что если перед арксинусом стоит знак "плюс", то π умножается на четное число 2πk, а если знак "минус", то множитель - нечетный 2k+1.
С учётом этого, запишем общую формула решения для уравнения sin(x)=a:_4.jpg)
Есть три случая, в которых предпочитают записывать решения более простым способом:
sin(x)=0, то x= πk,
sin(x)=1, то x= π/2 + 2πk,
sin(x)=-1, то x= -π/2 + 2πk.
Для любого -1 ≤ а ≤ 1 выполняется равенство: arcsin(-a)=-arcsin(a).
_5.jpg)
Напишем таблицу значений косинуса наоборот и получим таблицу для арксинуса.
Примеры
1. Вычислить: arcsin(√3/2).
Решение: Пусть arcsin(√3/2)= x, тогда sin(x)= √3/2. По определению: - π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: x= π/3, т.к. sin(π/3)= √3/2 и –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Ответ: arcsin(√3/2)= π/3.
2. Вычислить: arcsin(-1/2).
Решение: Пусть arcsin(-1/2)= x, тогда sin(x)= -1/2. По определению: - π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: x= -π/6, т.к. sin(-π/6)= -1/2 и -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Ответ: arcsin(-1/2)=-π/6.
3. Вычислить: arcsin(0).
Решение: Пусть arcsin(0)= x, тогда sin(x)= 0. По определению: - π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: значит x= 0, т.к. sin(0)= 0 и - π/2 ≤ 0 ≤ π/2.
Ответ: arcsin(0)=0.
4. Решить уравнение: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk и x= π - arcsin(-√2/2) + 2πk.
Посмотрим в таблице значение: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Ответ: x= -π/4 + 2πk и x= 5π/4 + 2πk.
5. Решить уравнение: sin(x) = 0.
Решение: Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде:
x= arcsin(0) + 2πk и x= π - arcsin(0) + 2πk. Посмотрим в таблице значение: arcsin(0)= 0.
Ответ: x= 2πk и x= π + 2πk
6. Решить уравнение: sin(x) = 3/5.
Решение: Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде:
x= arcsin(3/5) + 2πk и x= π - arcsin(3/5) + 2πk.
Ответ: x= (-1) n - arcsin(3/5) + πk.
7. Решить неравенство sin(x)
Решение: Синус - это ордината точки числовой окружности. Значит: нам надо найти такие точки, ордината которых меньше 0.7. Нарисуем прямую y=0.7. Она пересекает числовую окружность в двух точках. Неравенству y
Тогда решением неравенства будет: -π – arcsin(0.7) + 2πk
_7.jpg)
Задачи на арксинус для самостоятельного решения
1) Вычислить: а) arcsin(√2/2), б) arcsin(1/2), в) arcsin(1), г) arcsin(-0.8).2) Решить уравнение: а) sin(x) = 1/2, б) sin(x) = 1, в) sin(x) = √3/2, г) sin(x) = 0.25,
д) sin(x) = -1.2.
3) Решить неравенство: а) sin (x)> 0.6, б) sin (x)≤ 1/2.
Функции sin, cos, tg и ctg всегда сопровождаются арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом. Одно является следствием другого, а пары функций одинаково важны для работы с тригонометрическими выражениями.
Рассмотрим рисунок единичной окружности, на котором графически отображено значений тригонометрических функций.
Если вычислить arcs OA, arcos OC, arctg DE и arcctg MK, то все они будут равны значению угла α. Формулы, приведенные ниже, отражают взаимосвязь основных тригонометрических функций и соответствующих им арков.
Чтобы больше понять о свойствах арксинуса, необходимо рассмотреть его функцию. График имеет вид асимметричной кривой, проходящей через центр координат.
Свойства арксинуса:
Если сопоставить графики sin и arcsin , у двух тригонометрических функций можно найти общие закономерности.
Арккосинус
Arccos числа а — это значение угла α, косинус которого равен а.
Кривая y = arcos x зеркально отображает график arcsin x, с той лишь разницей, что проходит через точку π/2 на оси OY.
Рассмотрим функцию арккосинуса более подробно:
- Функция определена на отрезке [-1; 1].
- ОДЗ для arccos — .
- График целиком расположен в I и II четвертях, а сама функция не является ни четной, ни нечетной.
- Y = 0 при x = 1.
- Кривая убывает на всей своей протяженности. Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.
Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.
Возможно, школьникам покажется излишним такое «подробное» изучение «арков». Однако, в противном случае, некоторые элементарные типовые задания ЕГЭ могут ввести учащихся в тупик.
Задание 1. Укажите функции изображенные на рисунке.
Ответ: рис. 1 – 4, рис.2 — 1.
В данном примере упор сделан на мелочах. Обычно ученики очень невнимательно относятся к построению графиков и внешнему виду функций. Действительно, зачем запоминать вид кривой, если ее всегда можно построить по расчетным точкам. Не стоит забывать, что в условиях теста время, затраченное на рисунок для простого задания, потребуется для решения более сложных заданий.
Арктангенс
Arctg числа a – это такое значение угла α, что его тангенс равен а.
Если рассмотреть график арктангенса, можно выделить следующие свойства:
- График бесконечен и определен на промежутке (- ∞; + ∞).
- Арктангенс нечетная функция, следовательно, arctg (- x) = — arctg x.
- Y = 0 при x = 0.
- Кривая возрастает на всей области определения.
Приведем краткий сравнительный анализ tg x и arctg x в виде таблицы.
Арккотангенс
Arcctg числа a — принимает такое значение α из интервала (0; π), что его котангенс равен а.
Свойства функции арккотангенса:
- Интервал определения функции – бесконечность.
- Область допустимых значений – промежуток (0; π).
- F(x) не является ни четной, ни нечетной.
- На всем своем протяжении график функции убывает.
Сопоставить ctg x и arctg x очень просто, нужно лишь сделать два рисунка и описать поведение кривых.
Задание 2. Соотнести график и форму записи функции.
Если рассуждать логически, из графиков видно, что обе функции возрастающие. Следовательно, оба рисунка отображают некую функцию arctg. Из свойств арктангенса известно, что y=0 при x = 0,
Ответ: рис. 1 – 1, рис. 2 – 4.
Тригонометрические тождества arcsin, arcos, arctg и arcctg
Ранее нами уже была выявлена взаимосвязь между арками и основными функциями тригонометрии. Данная зависимость может быть выражена рядом формул, позволяющих выразить, например, синус аргумента, через его арксинус, арккосинус или наоборот. Знание подобных тождеств бывает полезным при решении конкретных примеров.
Также существуют соотношения для arctg и arcctg:
Еще одна полезная пара формул, устанавливает значение для суммы значений arcsin и arcos, а также arcctg и arcctg одного и того же угла.
Примеры решения задач
Задания по тригонометрии можно условно разделить на четыре группы: вычислить числовое значение конкретного выражения, построить график данной функции, найти ее область определения или ОДЗ и выполнить аналитические преображения для решения примера.
При решении первого типа задач необходимо придерживаться следующего плана действий:
При работе с графиками функций главное – это знание их свойств и внешнего вида кривой. Для решения тригонометрических уравнений и неравенств необходимы таблицы тождеств. Чем больше формул помнит школьник, тем проще найти ответ задания.
Допустим в ЕГЭ необходимо найти ответ для уравнения типа:
Если правильно преобразовать выражение и привести к нужному виду, то решить его очень просто и быстро. Для начала, перенесем arcsin x в правую часть равенства.
Если вспомнить формулу arcsin (sin α) = α , то можно свести поиск ответов к решению системы из двух уравнений:
Ограничение на модель x возникло, опять таки из свойств arcsin: ОДЗ для x [-1; 1]. При а ≠0, часть сиcтемы представляет собой квадратное уравнение с корнями x1 = 1 и x2 = — 1/a. При a = 0, x будет равен 1.