возрастающей
на промежутке \(X\)
, если для любых \(x_1, x_2\in
X\)
, таких что \(x_1 Функция называется неубывающей
\(\blacktriangleright\)
Функция \(f(x)\)
называется убывающей
на промежутке \(X\)
, если для любых \(x_1, x_2\in X\)
, таких что \(x_1 Функция называется невозрастающей
на промежутке \(X\)
, если для любых \(x_1, x_2\in X\)
, таких что \(x_1 \(\blacktriangleright\)
Возрастающие и убывающие функции называют строго монотонными
, а невозрастающие и неубывающие - просто монотонными
. \(\blacktriangleright\)
Основные свойства:
I.
Если функция \(f(x)\)
- строго монотонна на \(X\)
, то из равенства \(x_1=x_2\)
(\(x_1,x_2\in X\)
) следует \(f(x_1)=f(x_2)\)
, и наоборот. Пример: функция \(f(x)=\sqrt x\)
является строго возрастающей при всех \(x\in \)
, поэтому уравнение \(x^2=9\)
имеет на этом промежутке не более одного решения, а точнее одно: \(x=-3\)
. функция \(f(x)=-\dfrac 1{x+1}\)
является строго возрастающей при всех \(x\in (-1;+\infty)\)
, поэтому уравнение \(-\dfrac 1{x+1}=0\)
имеет на этом промежутке не более одного решения, а точнее ни одного, т.к. числитель левой части никогда не может быть равен нулю. III.
Если функция \(f(x)\)
- неубывает (невозрастает) и непрерывна на отрезке \(\)
, причем на концах отрезка она принимает значения \(f(a)=A, f(b)=B\)
, то при \(C\in \)
(\(C\in
\)
) уравнение \(f(x)=C\)
всегда имеет хотя бы одно решение. Пример: функция \(f(x)=x^3\)
является строго возрастающей (то есть строго монотонной) и непрерывной при всех \(x\in\mathbb{R}\)
, поэтому при любом \(C\in (-\infty;+\infty)\)
уравнение \(x^3=C\)
имеет ровно одно решение: \(x=\sqrt{C}\)
. Задание
1
#3153
Уровень задания: Легче ЕГЭ имеет ровно два корня. Перепишем уравнение в виде: \[(3x^2)^3+3x^2=(x-a)^3+(x-a)\]
Рассмотрим функцию \(f(t)=t^3+t\)
. Тогда уравнение перепишется в виде: \
Исследуем функцию \(f(t)\)
. \
Следовательно, функция \(f(t)\)
возрастает при всех \(t\)
. Значит, каждому значению функции \(f(t)\)
соответствует ровно одно значение аргумента \(t\)
. Следовательно, для того, чтобы уравнение имело корни, нужно: \
Чтобы полученное уравнение имело два корня, нужно, чтобы его дискриминант был положительным: \
Ответ:
\(\left(-\infty;\dfrac1{12}\right)\)
Задание
2
#2653
Уровень задания: Равен ЕГЭ Найдите все значения параметра \(a\)
, при которых уравнение \
имеет два корня. (Задача от подписчиков.)
Сделаем замену: \(ax^2-2x=t\)
, \(x^2-1=u\)
. Тогда уравнение примет вид: \
Рассмотрим функцию \(f(w)=7^w+\sqrtw\)
. Тогда наше уравнение примет вид: \
Найдем производную \
Заметим, что при всех \(w\ne 0\)
производная \(f"(w)>0\)
, т.к. \(7^w>0\)
, \(w^6>0\)
. Заметим также, что сама функция \(f(w)\)
определена при всех \(w\)
. Т.к. к тому же \(f(w)\)
непрерывна, то мы можем сделать вывод, что \(f(w)\)
возрастает на всем \(\mathbb{R}\)
. \
Для того, чтобы данное уравнение имело два корня, оно должно быть квадратным и его дискриминант должен быть положительным: \[\begin{cases} a-1\ne 0\\
4-4(a-1)>0\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad
\begin{cases}a\ne1\\a<2\end{cases}\]
Ответ:
\((-\infty;1)\cup(1;2)\)
Задание
3
#3921
Уровень задания: Равен ЕГЭ Найдите все положительные значения параметра \(a\)
, при которых уравнение имеет как минимум \(2\)
решения. Перенесем все слагаемые, содержащие \(ax\)
, влево, а содержащие \(x^2\)
– вправо, и рассмотрим функцию Тогда исходное уравнение примет вид: Найдем производную: Т.к. \((t-2)^2 \geqslant 0, \ e^t>0, \ 1+\cos{2t} \geqslant 0\)
, то \(f"(t)\geqslant 0\)
при любых \(t\in \mathbb{R}\)
. Причем \(f"(t)=0\)
, если \((t-2)^2=0\)
и \(1+\cos{2t}=0\)
одновременно, что не выполняется ни при каких \(t\)
. Следовательно, \(f"(t)> 0\)
при любых \(t\in \mathbb{R}\)
. Таким образом, функция \(f(t)\)
строго возрастает при всех \(t\in
\mathbb{R}\)
. Значит, уравнение \(f(ax)=f(x^2)\)
равносильно уравнению \(ax=x^2\)
. Уравнение \(x^2-ax=0\)
при \(a=0\)
имеет один корень \(x=0\)
, а при \(a\ne 0\)
имеет два различных корня \(x_1=0\)
и \(x_2=a\)
. Ответ:
\((0;+\infty)\)
. Задание
4
#1232
Уровень задания: Равен ЕГЭ Найдите все значения параметра \(a\)
, при каждом из которых уравнение \
имеет единственное решение. Домножим правую и левую части уравнения на \(2^{\sqrt{x+1}}\)
(т.к. \(2^{\sqrt{x+1}}>0\)
) и перепишем уравнение в виде: \
Рассмотрим функцию \(y=2^t\cdot \log_{\frac{1}{9}}{(t+2)}\)
при \(t\geqslant 0\)
(т.к. \(\sqrt{x+1}\geqslant 0\)
). Производная \(y"=\left(-2^t\cdot
\log_9{(t+2)}\right)"=-\dfrac{2^t}{\ln9}\cdot \left(\ln 2\cdot
\ln{(t+2)}+\dfrac{1}{t+2}\right)\)
. Т.к. \(2^t>0, \ \dfrac{1}{t+2}>0, \ \ln{(t+2)}>0\)
при всех \(t\geqslant 0\)
, то \(y"<0\)
при всех \(t\geqslant 0\)
. Следовательно, при \(t\geqslant 0\)
функция \(y\)
монотонно убывает. Уравнение можно рассматривать в виде \(y(t)=y(z)\)
, где \(z=ax,
t=\sqrt{x+1}\)
. Из монотонности функции следует, что равенство возможно только в том случае, если \(t=z\)
. Значит, уравнение равносильно уравнению: \(ax=\sqrt{x+1}\)
, которое в свою очередь равносильно системе: \[\begin{cases}
a^2x^2-x-1=0\\
ax \geqslant 0
\end{cases}\]
При \(a=0\)
система имеет одно решение \(x=-1\)
, которое удовлетворяет условию \(ax\geqslant 0\)
. Рассмотрим случай \(a\ne 0\)
. Дискриминант первого уравнения системы \(D=1+4a^2>0\)
при всех \(a\)
. Следовательно, уравнение всегда имеет два корня \(x_1\)
и \(x_2\)
, причем они разных знаков (т.к. по теореме Виета \(x_1\cdot x_2=-\dfrac{1}{a^2}<0\)
). Это значит, что при \(a<0\)
условию \(ax\geqslant 0\)
подходит отрицательный корень, при \(a>0\)
условию подходит положительный корень. Следовательно, система всегда имеет единственное решение. Значит, \(a\in \mathbb{R}\)
. Ответ:
\(a\in \mathbb{R}\)
. Задание
5
#1234
Уровень задания: Равен ЕГЭ Найдите все значения параметра \(a\)
, при каждом из которых уравнение \
имеет хотя бы один корень из отрезка \([-1;0]\)
. Рассмотрим функцию \(f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3\)
при некотором фиксированном \(a\)
. Найдем ее производную: \(f"(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2+(x-1)^2)\)
. Заметим, что \(f"(x)\geqslant 0\)
при всех значениях \(x\)
и \(a\)
, причем равна \(0\)
только при \(x=a=1\)
. Но при \(a=1\)
: Значит, при всех \(a\ne 1\)
функция \(f(x)\)
является строго возрастающей, следовательно, уравнение \(f(x)=0\)
может иметь не более одного корня. Учитывая свойства кубической функции, график \(f(x)\)
при некотором фиксированном \(a\)
будет выглядеть следующим образом: Значит, для того, чтобы уравнение имело корень из отрезка \([-1;0]\)
, необходимо: \[\begin{cases}
f(0)\geqslant 0\\
f(-1)\leqslant 0
\end{cases} \Rightarrow
\begin{cases}
a(a^2+3)\leqslant 0\\
(a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0
\end{cases} \Rightarrow
\begin{cases}
a\leqslant 0\\
a\geqslant -2
\end{cases} \Rightarrow -2\leqslant a\leqslant 0\]
Таким образом, \(a\in [-2;0]\)
. Ответ:
\(a\in [-2;0]\)
. Задание
6
#2949
Уровень задания: Равен ЕГЭ Найдите все значения параметра \(a\)
, при каждом из которых уравнение \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt{2x-2x^2})=0\]
имеет корни. (Задача от подписчиков)
ОДЗ уравнения: \(2x-2x^2\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in
\)
. Следовательно, для того, чтобы уравнение имело корни, нужно, чтобы хотя бы одно из уравнений \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad {\small{\text{или}}}\quad
\sqrt2a+8x\sqrt{2x-2x^2}=0\]
имело решения на ОДЗ. 1) Рассмотрим первое уравнение \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad\Leftrightarrow\quad
\left[\begin{gathered}\begin{aligned}
&\sin x=2a+2\\
&\sin x=3\\
\end{aligned} \end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \sin x=2a+2\]
Данное уравнение должно иметь корни на \(\)
. Рассмотрим окружность: Таким образом, мы видим, что для любых \(2a+2\in [\sin 0;\sin 1]\)
уравнение будет иметь одно решение, а для всех остальных – не будет иметь решений. Следовательно, при \(a\in \left[-1;-1+\sin 1\right]\)
уравнение имеет решения. 2) Рассмотрим второе уравнение \[\sqrt2a+8x\sqrt{2x-2x^2}=0 \quad\Leftrightarrow\quad 8x\sqrt{x-x^2}=-a\]
Рассмотрим функцию \(f(x)=8x\sqrt{x-x^2}\)
. Найдем ее производную: \
На ОДЗ производная имеет один ноль: \(x=\frac34\)
, который к тому же является точкой максимума функции \(f(x)\)
. Следовательно, для того, чтобы уравнение имело решения, нужно, чтобы график \(f(x)\)
пересекался с прямой \(y=-a\)
(на рисунке изображен один из подходящих вариантов). То есть нужно, чтобы \
. При этих \(x\)
: Функция \(y_1=\sqrt{x-1}\)
является строго возрастающей. Графиком функции \(y_2=5x^2-9x\)
является парабола, вершина которой находится в точке \(x=\dfrac{9}{10}\)
. Следовательно, при всех \(x\geqslant 1\)
функция \(y_2\)
также строго возрастает (правая ветвь параболы). Т.к. сумма строго возрастающих функций есть строго возрастающая, то \(f_a(x)\)
– строго возрастает (константа \(3a+8\)
не влияет на монотонность функции). Функция \(g_a(x)=\dfrac{a^2}{x}\)
при всех \(x\geqslant 1\)
представляет собой часть правой ветви гиперболы и является строго убывающей. Решить уравнение \(f_a(x)=g_a(x)\)
- значит найти точки пересечения функций \(f\)
и \(g\)
. Из их противоположной монотонности следует, что уравнение может иметь не более одного корня. При \(x\geqslant 1\)
\(f_a(x)\geqslant 3a+4, \ \ \
0 \\cup
Ответ:
\(a\in (-\infty;-1]\cup и . Задание 2.
Исследовать на максимум
и минимум следующие функцию. Решение.
D(f
): х
=/= ± 2. Ответ:
экстремумов нет. Преподаватель:
У вас, наверное,
возникает вопрос, какое отношение имеет данная
тема для будущей нашей профессии? Сегодня у вас в
гостях студенты старшего курса. Они расскажут,
где применяется данная тема в экономике. Старшекурсник:
Дифференциальное
исчисление – широко применяемый для
экономического анализа математический аппарат.
Важный раздел методов дифференциального
исчисления, используемых в экономике –
методы предельного анализа, т. е. совокупность
приемов исследования изменяющихся величин
затрат или результатов при изменениях объемов
производства, потребления и т. п. на основе
анализа их предельных значений. Предельный
показатель (показатели) функции – это ее
производная (в случае функции одной переменной)
или частные производные (в случае функции
нескольких переменных). В экономике часто
используются средние величины: средняя
производительность труда, средние издержки,
средний доход, средняя прибыль и т. д. Но часто
требуется узнать, на какую величину вырастет
результат, если будут увеличены затраты или
наоборот, насколько уменьшится результат, если
затраты сократятся. С помощью средних величин
ответ на этот вопрос получить невозможно. В
подобных задачах требуется определить предел
отношения приростов результата и затрат, т. е.
найти предельный эффект. Большое значение имеет такое понятие, как
эластичность функции
. (Приложение
4
) Эластичностью функции f
(x
) в точке x
0
называют преде Спрос – это количество товара,
востребованное покупателем. Ценовая
эластичность спроса E D – это величина,
характеризующая то, как спрос реагирует на
изменение цены. Если |E D | > 1, то спрос
называется эластичным, если |E D | < 1, то
неэластичным. В случае E D = 0 спрос
называется совершенно неэластичным, т. е.
изменение цены не приводит ни к какому изменению
спроса. Напротив, если самое малое снижение цены
побуждает покупателя увеличить покупки от 0 до
предела своих возможностей, говорят, что спрос
является совершенно эластичным. В зависимости от
текущей эластичности спроса, предприниматель
принимает решения о снижении или повышении цен
на продукцию. Пример 1.
Пусть цена единицы товара
равна С усл.ед., количество единиц реализованного
товара равно V. Доход от реализации товара L = CV.
Предельный доход равен L "(V). Функция спроса С = 8 – V. Тогда L = (8 – V)V = 8V – V ‘.
При этом С > 0,V >
0, 0 <
V < 8. Решение.
Спрос эластичен при | Еc(V) | >1, т.е. | 1 – 8/V |
>1 В экономике очень часто требуется найти
наилучшее или оптимальное значение показателя
:
наивысшую производительность труда,
максимальную прибыль, максимальный выпуск,
минимальные издержки и т. д. Каждый показатель
представляет собой функцию от одного или
нескольких аргументов. Таким образом, нахождение
оптимального значения показателя сводится к
нахождению экстремума функции. 2. Максимизация прибыли.
(Приложение
5
) Пусть L = L(V) – функция дохода, получаемое
от реализации V единиц товара; Для нахождения максимальной прибыли: П"(V) = L"(V) – С"(V). Пример 2.
Пусть L(V) = 594V – V 2 Решение.
П(V) = 594V – V 2 – (2V 3 – 7V 2)
= – 2V 3 + 6V 2 + 594V Ответ:
П max (11) = 5929 Максимизация дохода при дополнительном
налогообложении предприятия.
(Приложение
6
)Пусть: V – количество
единиц выпускаемой продукции; L(V) – доход предприятия; C(V) – затраты
предприятия; П(V) = L(V) – C(V) – прибыль
предприятия. Принято решение: ввести
дополнительный налог r на каждую единицу
продукции. Каким должен быть налог, чтобы доход R
= rV 1 , полученный от дополнительного
налога, был максимальным? Здесь V 1
количество единиц продукции, выпускаемой после
введения налога. Затраты предприятия после
введения налога С 1 = C(V) + rV. VI. Задание на дом
(1 мин.) VII. Итоги занятия
(1 мин.) Объявить оценки с комментариями Нахождение интервалов возрастания, убывания и экстремумов функции является как самостоятельной задачей, так и важнейшей частью других заданий, в частности, полного исследования функции
. Начальные сведения о возрастании, убывании и экстремумах функции даны в теоретической главе о производной
, которую я настоятельно рекомендую к предварительному изучению (либо повторению)
– ещё и по той причине, что нижеследующий материал базируется на самой сути производной,
являясь гармоничным продолжением указанной статьи. Хотя, если времени в обрез, то возможна и чисто формальная отработка примеров сегодняшнего урока. А сегодня в воздухе витает дух редкого единодушия, и я прямо чувствую, что все присутствующие горят желанием научиться исследовать функцию с помощью производной
. Поэтому на экранах ваших мониторов незамедлительно появляется разумная добрая вечная терминология. Зачем? Одна из причин самая что ни на есть практическая: чтобы было понятно, что от вас вообще требуется в той или иной задаче
! Рассмотрим некоторую функцию . Упрощённо полагаем, что она непрерывна
на всей числовой прямой: На всякий случай сразу избавимся от возможных иллюзий, особенно это касается тех читателей, кто недавно ознакомился с интервалами знакопостоянства функции
. Сейчас нас НЕ ИНТЕРЕСУЕТ
, как расположен график функции относительно оси (выше, ниже, где пересекает ось). Для убедительности мысленно сотрите оси и оставьте один график. Потому что интерес именно в нём. Функция возрастает
на интервале, если для любых двух точек этого интервала, связанных отношением , справедливо неравенство . То есть, бОльшему значению аргумента соответствует бОльшее значение функции, и её график идёт «снизу вверх». Демонстрационная функция растёт на интервале . Аналогично, функция убывает
на интервале, если для любых двух точек данного интервала, таких, что , справедливо неравенство . То есть, бОльшему значению аргумента соответствует мЕньшее значение функции, и её график идёт «сверху вниз». Наша функция убывает на интервалах Если функция возрастает или убывает на интервале, то её называют строго монотонной
на данном интервале. Что такое монотонность? Понимайте в буквальном смысле – однообразие. Также можно определить неубывающую
функцию (смягчённое условие в первом определении) и невозрастающую
функцию (смягчённое условие во 2-м определении). Неубывающую или невозрастающую функцию на интервале называют монотонной функцией на данном интервале (строгая монотонность – частный случай «просто» монотонности)
. Теория рассматривает и другие подходы к определению возрастания/убывания функции, в том числе на полуинтервалах, отрезках, но чтобы не выливать на вашу голову масло-масло-масляное, договоримся оперировать открытыми интервалами с категоричными определениями – это чётче, и для решения многих практических задач вполне достаточно. Таким образом, в моих статьях за формулировкой «монотонность функции» почти всегда будут скрываться интервалы
строгой монотонности
(строгого возрастания или строгого убывания функции). Окрестность точки. Слова, после которых студенты разбегаются, кто куда может, и в ужасе прячутся по углам. …Хотя после поста Пределы по Коши
уже, наверное, не прячутся, а лишь слегка вздрагивают =) Не беспокойтесь, сейчас не будет доказательств теорем математического анализа – окрестности мне потребовались, чтобы строже сформулировать определения точек экстремума
. Вспоминаем: Окрестностью точки
называют интервал, который содержит данную точку, при этом для удобства интервал часто полагают симметричным. Например, точка и её стандартная - окрестность: Точка называется точкой строгого максимума
, если существует
её -окрестность, для всех
значений которой за исключением самой точки выполнено неравенство . В нашем конкретном примере это точка . Точка называется точкой строгого минимума
, если существует
её -окрестность, для всех
значений которой за исключением самой точки выполнено неравенство . На чертеже – точка «а». Примечание
: требование симметричности окрестности вовсе не обязательно. Кроме того, важен сам факт существования
окрестности (хоть малюсенькой, хоть микроскопической), удовлетворяющей указанным условиям
Точки называют точками строго экстремума
или просто точками экстремума
функции. То есть это обобщенный термин точек максимума и точек минимума. Как понимать слово «экстремум»? Да так же непосредственно, как и монотонность. Экстремальные точки американских горок. Как и в случае с монотонностью, в теории имеют место и даже больше распространены нестрогие постулаты (под которые, естественно, подпадают рассмотренные строгие случаи!)
: Точка называется точкой максимума
, если существует
её окрестность, такая, что для всех
Заметьте, что согласно последним двум определениям, любая точка функции-константы (либо «ровного участка» какой-нибудь функции) считается как точкой максимума, так и точкой минимума! Функция , к слову, одновременно является и невозрастающей и неубывающей, то есть монотонной. Однако оставим сии рассуждения теоретикам, поскольку на практике мы почти всегда созерцаем традиционные «холмы» и «впадины» (см. чертёж) с уникальным «царём горы» или «принцессой болота» . Как разновидность, встречается остриё
, направленное вверх либо вниз, например, минимум функции в точке . Да, кстати, о королевских особах: Общее название – экстремумы
функции. Пожалуйста, будьте аккуратны в словах! Точки экстремума
– это «иксовые» значения. ! Примечание
: иногда перечисленными терминами называют точки «икс-игрек», лежащие непосредственно на САМОМ ГРАФИКЕ функции.
Сколько может быть экстремумов у функции? Ни одного, 1, 2, 3, … и т.д. до бесконечности. Например, у синуса бесконечно много минимумов и максимумов. ВАЖНО!
Термин «максимум функции» не тождественен
термину «максимальное значение функции». Легко заметить, что значение максимально лишь в локальной окрестности, а слева вверху есть и «покруче товарищи». Аналогично, «минимум функции» – не то же самое, что «минимальное значение функции», и на чертеже мы видим, что значение минимально только на определённом участке. В этой связи точки экстремума также называют точками локального экстремума
, а экстремумы – локальными экстремумами
. Ходят-бродят неподалёку и глобальные
собратья. Так, любая парабола имеет в своей вершине глобальный минимум
или глобальный максимум
. Далее я не буду различать типы экстремумов, и пояснение озвучено больше в общеобразовательных целях – добавочные прилагательные «локальный»/«глобальный» не должны заставать врасплох. Подытожим наш небольшой экскурс в теорию контрольным выстрелом: что подразумевает задание «найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции»? Формулировка побуждает найти: – интервалы возрастания/убывания функции (намного реже фигурирует неубывание, невозрастание); – точки максимума и/или точки минимума (если таковые существуют). Ну и от незачёта подальше лучше найти сами минимумы/максимумы;-) Как всё это определить?
С помощью производной функции! Многие правила, по сути, уже известны и понятны из урока о смысле производной
. Производная тангенса С котангенсом и его производной Арксинус на интервале растёт – производная здесь положительна: Думаю, вам не составит особого труда провести похожие рассуждения для арккосинуса и его производной. Все перечисленные случаи, многие из которых представляют собой табличные производные
, напоминаю, следуют непосредственно из определения производной
. Чтобы лучше узнать, как выглядит график этой функции
: где он идёт «снизу вверх», где «сверху вниз», где достигает минимумов максимумов (если вообще достигает). Не все функции такие простые – в большинстве случаев у нас вообще нет ни малейшего представления о графике той или иной функции. Настала пора перейти к более содержательным примерам и рассмотреть алгоритм нахождения интервалов монотонности и экстремумов функции
: Пример 1
Найти интервалы возрастания/убывания и экстремумы функции Решение
: 1) На первом шаге нужно найти область определения функции
, а также взять на заметку точки разрыва (если они существуют). В данном случае функция непрерывна на всей числовой прямой, и данное действие в известной степени формально. Но в ряде случаев здесь разгораются нешуточные страсти, поэтому отнесёмся к абзацу без пренебрежения. 2) Второй пункт алгоритма обусловлен Если в точке есть экстремум, то либо значения не существует
. Смущает концовка? Экстремум функции «модуль икс».
Условие необходимо, но не достаточно
, и обратное утверждение справедливо далеко не всегда. Так, из равенства ещё не следует, что функция достигает максимума или минимума в точке . Классический пример уже засветился выше – это кубическая парабола и её критическая точка . Но как бы там ни было, необходимое условие экстремума диктует надобность в отыскании подозрительных точек. Для этого следует найти производную и решить уравнение : В начале первой статьи о графиках функции
я рассказывал, как быстро построить параболу на примере Пример 2
Найти промежутки монотонности и экстремумы функции Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и примерный чистовой образец оформления задачи в конце урока. Наступил долгожданный момент встречи с дробно-рациональными функциями: Пример 3
Исследовать функцию с помощью первой производной Обратите внимание, как вариативно можно переформулировать фактически одно и то же задание. Решение
: 1) Функция терпит бесконечные разрывы в точках . 2) Детектируем критические точки. Найдём первую производную и приравняем её к нулю: Решим уравнение . Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю: Таким образом, получаем три критические точки: 3) Откладываем на числовой прямой ВСЕ обнаруженные точки и методом интервалов
определяем знаки ПРОИЗВОДНОЙ: Действие, как вы понимаете, нужно провести для каждого из шести интервалов. Кстати, обратите внимание, что множитель числителя и знаменатель строго положительны для любой точки любого интервала, что существенно облегчает задачу. Итак, производная сообщила нам, что САМА ФУНКЦИЯ возрастает на В точке функция достигает максимума: Подумайте, почему можно заново не пересчитывать второе значение;-) При переходе через точку производная не меняет знак, поэтому у функции там НЕТ ЭКСТРЕМУМА – она как убывала, так и осталась убывающей. ! Повторим важный момент
: точки не считаются критическими – в них функция не определена
. Соответственно, здесь экстремумов не может быть в принципе
(даже если производная меняет знак). Ответ
: функция возрастает на Знание интервалов монотонности и экстремумов вкупе с установленными асимптотами
даёт уже очень хорошее представление о внешнем виде графика функции. Человек среднего уровня подготовки способен устно определить, что у графика функции есть две вертикальные асимптоты и наклонная асимптота . Вот наш герой: Пример 4
Найти экстремумы функции Пример 5
Найти интервалы монотонности, максимумы и минимумы функции …прямо какой-то Праздник «икса в кубе» сегодня получается.... В каждой задаче есть свои содержательные нюансы и технические тонкости, которые закомментированы в конце урока. Экстремумы и выпуклость.
Асимптоты графика функции
Определение.
Критической точкой
функции у
= f
(х
) называется точка в которой производная равна нулю или не существует. Теорема.
Если в промежутке (а; b) производная Теорема.
Если при переходе через критическую точку производная Определение.
Функция Пример 2.3.
Исследовать функцию 1. Исследуем функцию на монотонность и экстремумы. Сделаем рисунок (рис. 2.1
). Рис. 2.2. Исследование функции на выпуклость
Вычислим ординаты точек перегиба графика: Координаты точек перегиба: (0; 0), (1; −1). 2.32. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы: 1) 4) 2.33. Найти наименьшее и наибольшее значенияфункции: 1) 2) 3) 4) 2.34. Издержки производства С (у. е.) зависят от объема выпускаемой продукции х
(ед.): Найти наибольшие издержки производства, если х
изменяется на промежутке . Найти значение х
, при котором прибыль будет максимальной, если выручка от реализации единицы продукции равна 15 у. е. 2.35. Требуется выделить прямоугольную площадку земли в 512 м 2 , огородить ее и разделить забором на три равные части параллельно одной из сторон площадки. Каковы должны быть размеры площадки, чтобы на ограждение пошло наименьшее количество материала? 2.36. При заданном периметре прямоугольного окна найти такие его размеры, чтобы оно пропускало наибольшее количество света. 2.37. Найти максимум прибыли, если доход R и издержки C определяются формулами: где х
− количество реализованного товара. 2.38. Зависимость объема выпуска продукции W
от капитальных затрат К
определяется функцией 2.39. Функция издержек имеет вид Доход от реализации единицы продукции равен 200. Найти оптимальное для производителя значение выпуска продукции. 2.40. Зависимость объема выпуска продукции (в денежных единицах) от капитальных затрат определяется функцией 2.41. Считается, что увеличение реализации от затрат на рекламу (млн руб.) определяется соотношением 2.42. Доход от производства продукции с использованием единиц ресурса составляет величину 2.43. Функция издержек имеет вид 2.44. Зависимость дохода монополии от количества выпускаемой продукции определяется как Функция издержек на этом промежутке имеет вид 2.45. Цена на продукцию монополии-производителя устанавливается в соответствии с отношением, идентифицируемым как 2.46. Функция издержек имеет следующий вид Цели урока:
Образовательные: Воспитательные: Развивающие: Ход урока
Эпиграф к уроку: "Мало иметь хороший ум, главное хорошо
его применять" Домашнее задание к этому уроку: выясните,
людям каких профессий по роду своей деятельности
приходится читать графики. Ответы: - кардиолог (кардиограмма) Экономист (график динамики роста цен, роста
стоимости нефти, рост курса $) Метеоролог (график изменения температуры за
год) Сейсмолог (график колебания активности
вулкана, сейсмоактивность данной местности). Давайте посмотрим, насколько мы владеем
этой культурой. Аукцион "Чтение графика" Последний ученик, правильно назвавший свойство
функции, получает "5" Дополнительный аукцион: Кусочек графика какой функции изображен на
чертеже? Сегодня на уроке мы подробно рассмотрим
только одно свойство функции - монотонность. Подберите к прилагательному "монотонный"
существительное. О чем говорят "монотонный"? Движение. Монотонный - значит какой? Одинаковый,
повторяющийся. С каким свойством функции можно связать
словосочетание - монотонное движение? Движение
куда? Итак: монотонность - это возрастание и
убывание функции. В тетради: число, тема урока "Исследование
функции на монотонность".
Давайте начнем с того, что мы уже знаем - с
графика. Начертите в каждом столбике систему
координат и изобразите график произвольной
функции, обладающей указанным свойством на всей
области определения. В тетради таблица: Отложим в сторону тетради. Для дальнейшего
изучения свойства, давайте еще раз убедимся, что
мы все хорошо понимаем о чем идет речь на уроке.
Собираем лото. Инструкция: На каждой парте таблица и набор
карточек. Работаем в парах. Карточек больше, чем
необходимо. Будьте внимательны. Лото собирайте
на тетрадке, чтобы потом перевернув, мы прочитали
закодированную фразу, правильность которой
зависит от слаженной работы каждой пары. Набор карточек: После того как каждая пара сложит лото и
перевернет таблицу, из получившихся слов
получается фраза: "От живого созерцания к абстрактному мышлению,
от него к практике - таков путь познания истины"
Ф. Энгельс. На боковой доске: Нам сегодня предстоит подняться по этой
лесенке, чтобы постигнуть лишь малую крупицу
истины знаний, которые накопило человечество на
своем пути развития. Как вы думаете, на какой ступеньке мы находимся?
Созерцание, т.е. рассматриваем графики.
Продолжаем работу в тетради, в первом столбике
таблицы. Зафиксируйте х 1 , найдите по графику
соответствующее у 1 , зафиксируйте х 2 -
найдите у 2. Сравните х 1 и х 2 (х 1 <
х 2). Что происходит со значением х? Сравните у 1 и у 2 (у 1 > у 2).
Что происходит со значением у? Вывод: Большему значению х соответствует
меньшее значение у. Это и есть определение
убывающей функции. Запишите его в таблицу. Самостоятельная работа. 1 вариант. Проделайте те же операции во втором
столбике таблицы. 2 вариант. Заполните третий столбик. Проверка по доске и в парах обмен результатами. Итог работы. Если мы знаем определение, то график для
установления вида монотонности нам не нужен. А
это значит, что мы поднялись на вторую ступеньку
по лестнице познания. Осталось применить свои знания на практике. V. Задачник стр.194, № 4, 5 .Один ученик у доски. Дано: у = 2х - 5 Доказать: у 1 < у 2 Доказательство: х 1 < х 2 |· 2 2х 1 < 2х 2 | + (- 5) 2х 1 - 5 < 2х 2 - 5 у 1 < у 2 > функция у = 2х - 5 -
возрастающая. Дано: у = 7 - 13х Доказать: у 1 > у 2 Доказательство: аналогично Как называются функции, которые мы исследовали?
От чего зависит вид монотонности линейной
функции? Запишите вывод в таблицу. Используя этот
вывод, выполним устно № 6. . № 8(а,б) . по вариантам, оформить в тетради по
образцу. Проверка вывода: как называется функция? Какой
общей формулой задается функция? От чего зависит
вид монотонности? Запишите в таблицу. Как вы думаете, будет ли меняться вид
монотонности, если смещать график вдоль оси Ох
или Оу? № 8(в,г) устно. Вспомните графики известных функций. Какая из
них одинаково ведет себя на всей области
определения? у = .
Запишите в таблицу. V. Наш урок подходит к концу. Закройте
тетради. Откройте дневники.
Домашнее задание: на "3" - выучить определения 10 ., 32 № 1,2; на "4" + 32 № 11., на "5" + задание на карточке. Построй графики - получишь рисунок. . "собачка" х = 8, - 19 у - 3; у = - х - 11, 0 х 8; х = 0, - 19 у - 11; у = - х - 19, - 14 х 0; х = - 14, - 5 у 1; у = - х -13, - 14 х - 8; х = - 8, - 11 у - 5; у = х - 3, - 8 х 0; у = - 3, 0 х 8; у = - 0,6х + 1,2, - 2 х 8; у = 1, 7 х 10; у = - 4х - 42,8, 8 х 10; у = , 5 х 8; у = - 0,4х + 8, 0 х 2; у = - 4х + 8, 0 х 2. "парусник"
Значит, равенство \(f(t)=f(u)\)
возможно тогда и только тогда, когда \(t=u\)
. Вернемся к изначальным переменным и решим полученное уравнение:
\
\
\
Нам нужно найти значения \(a\)
, при которых уравнение будет иметь не менее двух корней, учитывая также то, что \(a>0\)
.
Следовательно, ответ: \(a\in (0;+\infty)\)
.
\(f"(x)=6(x-1)^2 \Rightarrow f(x)=2(x-1)^3 \Rightarrow\)
уравнение \(2(x-1)^3=0\)
имеет единственный корень \(x=1\)
, не удовлетворяющий условию. Следовательно, \(a\)
не может быть равно \(1\)
.
Заметим, что \(f(0)=f(1)=0\)
. Значит, схематично график \(f(x)\)
выглядит так:
Решение данного неравенства V Є (0; 4), т.е.
спрос эластичен при V Є (0; 4). На этом интервале L"(V) =
(8V – V 2) ‘ = 8 – 2V >0, т.е. доход предприятия
растет при снижении цены и продаже
дополнительного товара.
Спрос неэластичен при | 1 – 8/V | <1 при V Є (4; 8).
На этом интервале L"(V) = (8V – V 2) ‘ = 8 – 2V < 0.
Следовательно, в случае, когда спрос неэластичен,
увеличение объема продажи товара за счет
снижения цены приводит к уменьшению дохода.
С = С(V) – функция затрат на производство V
единиц товара;
П = П(V) – функция прибыли.
Тогда очевидно П(V) = L(V) – С(V).
П"(V) = 0 при L"(V) = С"(V), т.е. предельный доход равен
предельным издержкам. Именно это утверждается в
микроэкономике: «Чтобы максимизировать прибыль,
нужно, чтобы предельный доход равнялся
предельным издержкам».
С(V) = 2V3 – 7V 2
П"(V) = – 6V 2 + 12V + 594 = – 6(V 2 – 2V – 99)
= – 6(V – 11)(V + 9)
П"(V) = 0.V = – 9, V = 11 – критические
точки.
Прибыль предприятия после введения налога П(V)
= L(V) – С1(V) = L(V) – C(V) – rV.Приложение
3
)Возрастание, убывание и экстремумы функции
Монотонность функции. Точки экстремума и экстремумы функции
.
Собственно, определения:
Точка называется точкой минимума
, если существует
её окрестность, такая, что для всех
значений данной окрестности выполнено неравенство .
– значение называют максимумом
функции;
– значение называют минимумом
функции.
Экстремумы
– «игрековые» значения.Как найти интервалы возрастания, убывания,
точки экстремума и экстремумы функции?
несёт бодрую весть о том, что функция возрастает на всей области определения
.
ситуация ровно противоположная.
.
При функция определена, но не дифференцируема. Однако в критической точке существует правосторонняя производная и правостороння касательная, а на другом краю – их левосторонние визави.Зачем исследовать функцию с помощью производной?
необходимым условием экстремума:
: «…берём первую производную и приравниваем ее к нулю: …Итак, решение нашего уравнения: – именно в этой точке и находится вершина параболы…». Теперь, думаю, всем понятно, почему вершина параболы находится именно в этой точке =) Вообще, следовало бы начать с похожего примера и здесь, но он уж слишком прост (даже для чайника). К тому же, аналог есть в самом конце урока о производной функции
. Поэтому повысим степень:
Напоминаю, что необходимо взять какую-нибудь точку интервала, вычислить в ней значение производной 
и определить её знак. Выгоднее даже не считать, а «прикинуть» устно. Возьмём, например, точку , принадлежащую интервалу , и выполним подстановку: 
. 
Два «плюса» и один «минус» дают «минус», поэтому , а значит, производная отрицательна и на всём интервале .
и убывает на . Однотипные интервалы удобно скреплять значком объединения .
В точке функция достигает минимума: 
и убывает на В точке достигается максимум функции: 
, а в точке – минимум: .
Постарайтесь ещё раз соотнести результаты исследования с графиком данной функции.
В критической точке экстремума нет, но существует перегиб графика
(что, как правило, и бывает в похожих случаях).
Тааак, кто там на галёрке предложил за это выпить? =)
положительна/отрицательна, то в этом промежутке функция возрастает/убывает. меняет знак с «+» на «−» (с «−» на «+»), то − точка максимума (минимума) функции 
называется выпуклой вверх(вниз)
в промежутке (а; b), если в этом промежутке точки графика лежат под (над) касательными, построенными в этих точках. Точкой перегиба
называется точка графика функции, которая делит его на части с разными направлениями выпуклости.
на монотонность и экстремумы, выпуклость.
y′′
x
−
−
+
y
вып. вниз
вып. вверх
вып. вниз
2) 
3) 
5) 
6) 
на промежутке ;
на промежутке [−1; 1];
на промежутке [−4; 4];
на промежутке [−2; 1].
Найти интервал изменения К
, на котором увеличение капитальных затрат неэффективно.
Найти интервал значений , на котором увеличение капитальных затрат неэффективно.
Доход от реализации единицы продукции равен 20 тыс. руб. Найти уровень рекламных затрат, при котором фирма получит максимальную прибыль.
Стоимость единицы ресурса – 10 ден. ед. Какое количество ресурса следует приобрести, чтобы прибыль была наибольшей?
Доход от реализации единицы продукции равен 50. Найти максимальное значение прибыли, которое может получить производитель.
Найти оптимальное для монополии значение выпуска продукции.
. При каком значении выпуска продукции доход от ее реализации будет наибольшим?
при 
при 
. В настоящий момент уровень выпуска продукции 
При каком условии на параметр p
фирме выгодно уменьшить выпуск продукции, если доход от реализации единицы продукции равен 50?
Р. Декарт.
