Основания и фундаменты рассчитывают по 2 предельным состояниям
| По несущей способности: | N – заданная расчетная нагрузка на основание в наиболее невыгодной комбинации; - несущая способность (предельная нагрузка) основания для данного направления нагрузки N ; - коэффициент условий работы основания (<1); - коэффициент надежности (>1). | |
| По предельным деформациям: | - расчетная абсолютная осадка фундамента; - расчетная относительная разность осадок фундаментов; , - предельные величины, соответственно абсолютной и относительной разности осадок фундаментов (СНиП 2.02.01-83*) |
Динамика вращательного движения
Предисловие
Обращаю внимание студентов на то, что ЭТОТ материал в школе не рассматривался АБСОЛЮТНО (кроме понятия момента силы).
1. Закон динамики вращательного движения
a. Закон динамики вращательного движения
b. Момент силы
c. Момент пары сил
d. Момент инерции
2. Моменты инерции некоторых тел:
a. Кольцо (тонкостенный цилиндр)
b. Толстостенный цилиндр
c. Сплошной цилиндр
e. Тонкий стержень
3. Теорема Штейнера
4. Момент импульса тела. Изменение момента импульса тела. Импульс момента силы. Закон сохранения момента импульса
5. Работа при вращательном движении
6. Кинетическая энергия вращения
7. Сопоставление величин и законов для поступательного и вращательного движения
1a. Рассмотрим твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси ОО (рис.3.1). Разобьем это твердое тело на отдельные элементарные массы Δm i . Равнодействующую всех сил, приложенных к Δm i , обозначим через . Достаточно рассмотреть случай, когда сила лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения: составляющие сил, параллельные оси, не могут влиять на вращение тела, так как ось закреплена. Тогда уравнение второго закона Ньютона для касательных составляющих силы и ускорения запишется в виде:
Нормальная составляющая силы обеспечивает центростремительное ускорение и на угловое ускорение не влияет. Из (1.27): ,где – радиус вращения i -той точки. Тогда
Умножим обе части (3.2) на :
Заметим, что
где α – угол между вектором силы и радиус-вектором точки (рис.3.1), – перпендикуляр, опущенный на линию действия силы из центра вращения (плечо силы). Введём понятие момента силы .
1b. Моментом силы относительно оси называется вектор, направленный по оси вращения и связанный с направлением силы правилом буравчика, модуль которого равен произведению силы на ее плечо: . Плечо силы l относительно оси вращения – это кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси вращения. Размерность момента силы:
В векторной форме момент силы относительно точки:
Вектор момента силы перпендикулярен и силе, и радиус-вектору точки её приложения:
Если вектор силы перпендикулярен оси, то вектор момента силы направлен по оси по правилу правого винта, а величина момента силы относительно этой оси (проекция на ось) определяется формулой (3.4):
Момент силы зависит и от величины силы, и от плеча силы. Если сила параллельна оси, то .
1c. Пара сил – это две равные по величине и противоположные по направлению силы, линии действия которых не совпадают (рис.3.2). Плечо пары сил – это расстояние между линиями действия сил. Найдём суммарный момент пары сил и () в проекции на ось, проходящую через точку О:
То есть момент пары сил равен произведению величины силы на плкчо пары:
Вернёмся к (3.3). С учётом (3.4) и (3.6):
1d. Определение: скалярная величина , равная произведению массы материальной точки на квадрат ее расстояния до оси, называется моментом инерции материальной точки относительно оси ОО:
Размерность момента инерции
Векторы и совпадают по направлению с осью вращения, связаны с направлением вращения по правилу буравчика, поэтому равенство (3.9) можно переписать в векторной форме:
Просуммируем (3.10) по всем элементарным массам, на которые разбито тело:
Здесь учтено, что угловое ускорение всех точек твердого тела одинаково, и его можно вынести за знак суммы. В левой части равенства стоит сумма моментов всех сил (и внешних, и внутренних), приложенных к каждой точке тела. Но по третьему закону Ньютона, силы, с которыми точки тела взаимодействуют друг с другом (внутренние силы), равны по величине и противоположны по направлению и лежат на одной прямой, поэтому их моменты компенсируют друг друга. Таким образом, в левой части (3.11) остается суммарный момент только внешних сил: .
Сумма произведений элементарных масс на квадрат их расстояний от оси вращения называется моментом инерции твердого тела относительно данной оси:
Таким образом, ; – это и есть основной закон динамики вращательного движения твёрдого тела (аналог второго закона Ньютона ): угловое ускорение тела прямо пропорционально суммарному моменту внешних сил и обратно пропорционально моменту инерции тела :
Момент инерции I твердого тела является мерой инертных свойств твердого тела при вращательном движении и аналогичен массе тела во втором законе Ньютона. Он существенно зависит не только от массы тела, но и от ее распределения относительно оси вращения (в направлении, перпендикулярном оси).
В случае непрерывного распределения массы сумма в (3.12) сводится к интегралу по всему объему тела:
2a. Момент инерции тонкого кольца относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости кольца.
поскольку для любого элемента кольца его расстояние до оси одинаково и равно радиусу кольца: .
2b. Толстостенный цилиндр (диск) с внутренним радиусом и внешним радиусом .
Вычислим момент инерции однородного диска плотностью ρ , высотой h, внутренним радиусом и внешним радиусом (рис.3.3) относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости диска. Разобьем диск на тонкие кольца толщиной и высотой так, что внутренний радиус кольца равен , внешний – . Объем такого кольца , где – площадь основания тонкого кольца. Его масса:
Подставим в (3.14) и проинтегрируем по r ():
Масса диска , тогда окончательно:
2c. Сплошной цилиндр (диск).
В частном случае сплошного диска или цилиндра радиусом R подставим в (3.17) R 1 =0, R 2 =R и получим:
Момент инерции шара радиуса R и массой относительно оси, проходящей через его центр (рис.3.4), равен (без доказательства):
2e. Момент инерции тонкого стержня массой и длиной относительно оси, проходящей через его конец перпендикулярно стержню (рис.3.5).
Стержень разобьём на бесконечно малые участки длиной . Масса такого участка . Подставим в (3.14) и проинтегрируем от 0 до :
Если ось проходит через центр стержня перпендикулярно ему, можно рассчитать момент инерции половины стержня по (3.20) и затем удвоить:
3. Если ось вращения не проходит через центр масс тела (рис.3.6), вычисления по формуле (3.14) могут быть довольно сложными. В этом случае расчет момента инерции облегчается применением теоремы Штейнера : момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I c тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно данной оси, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:
Посмотрим, как работает теорема Штейнера, если применить её к стержню:
Нетрудно убедиться, что получилось тождество, поскольку в этом случае расстояние между осями равно половине длины стержня .
4. Момент импульса тела. Изменение момента импульса тела. Импульс момента силы. Закон сохранения момента импульса.
Из закона динамики вращательного движения и определения углового ускорения следует:
Если , то . Введём момент импульса твёрдого тела как
Соотношение (3.24) – это основной закон динамики твёрдого тела для вращательного движения. Его можно переписать так:
и тогда это будет аналог второго закона Ньютона для поступательного движения в импульсной форме (2.5)
Выражение (3.24) можно проинтегрировать:
и сформулировать закон изменения момента импульса: изменение момента импульса тела равно импульсу суммарного момента внешних сил . Величина называется импульсом момента силы и аналогична импульсу силы в формулировке второго закона Ньютона для поступательного движения (2.2) ; момент импульса является аналогом импульса .
Размерность момента импульса
Момент импульса твёрдого тела относительно его оси вращения – это вектор, направленный по оси вращения по правилу буравчика.
Момент импульса материальной точки относительно точки О (рис.3.6) – это:
где – радиус-вектор материальной точки, – её импульс. Вектор момента импульса направлен по правилу буравчика перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и : на рис.3.7 – к нам из-за рисунка. Величина момента импульса
Твёрдое тело, вращающееся относительно оси, разобьём на элементарные массы и просуммируем по всему телу моменты импульса каждой массы (то же самое можно записать в виде интеграла; это непринципиально):
Поскольку угловая скорость всех точек одинакова и направлена по оси вращения, то можно записать в векторной форме:
Таким образом, доказана эквивалентность определений (3.23) и (3.26).
Если суммарный момент внешних сил равен нулю, то момент импульса системы не изменяется (см.3.25):
. Это закон сохранения момента импульса . Это возможно, когда:
а) система замкнута (или );
б) у внешних сил нет касательных составляющих (вектор силы проходит через ось/центр вращения);
в) внешние силы параллельны закреплённой оси вращения.
Примеры использования/действия закона сохранения момента импульса:
1. гироскоп;
2. скамья Жуковского;
3. фигуристка на льду.
5. Работа при вращательном движении.
Пусть тело повернулось на угол под действием силы и угол между перемещением и силой равен ; – радиус-вектор точки приложения силы (рис.3.8), тогда работа силы равна:
Основные понятия.
Момент силы относительно оси вращения – это векторное призведение радиус-вектора на силу.
Момент силы – это вектор, направление которого определяется по правилу буравчика (правого винта) в зависимости от направления силы, действующей на тело. Момент силы направлен вдоль оси вращения и не имеет конкретной точки приложения.
Численное значение данного вектора определяется по формуле:
M=r×F × sina (1.15),
где a- угол между радиус-вектором и направлением действия силы.
Если a=0 или p , момент силы М=0 , т.е. сила, проходящяя через ось вращения или совпадающяя с ней, вращения не вызывает.
Наибольший по модулю вращающий момент создается, если сила действует под углом a=p/2 (М > 0) или a=3p/2 (М < 0).
Используя понятие плеча силы (плечо силы d – это перпендикуляр, опущенный из центра вращения на линию действия силы), формула момента силы принимает вид:
Где 
(1.16)
Правило моментов сил (условие равновесия тела, имеющего неподвижную ось вращения):
Для того, чтобы тело, имеющее неподвижную ось вращения, находилось в равновесии, необходимо, чтобы алгебраическая сумма моментов сил, действующих на данное тело, равнялась нулю.
S М i =0 (1.17)
Единицей измерения момента силы в системе СИ является [Н×м]
При вращательном движении инертность тела зависит не только от его массы, но и от распределения ее в пространстве относительно оси вращения.
Инертность при вращении характеризуется моментом инерциитела относительно оси вращения J.
Момент инерции материальной точки относительно оси вращения – это величина, равная произведению массы точки на квадрат ее расстояния от оси вращения:
J i =m i × r i 2 (1.18)
Моментом инерции тела относительно оси называется сумма моментов инерции материальных точек, из которых состоит тело:
J=S m i × r i 2 (1.19)
Момент инерции тела зависит от его массы и формы, а также от выбора оси вращения. Для определения момента инерции тела относительно некоторой оси используется теорема Штейнера-Гюйгенса:
J=J 0 +m× d 2 (1.20),
где J 0 – момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через цент масс тела, d – расстояние между двумя параллельными осями. Момент инерции в СИ измеряется в [кг×м 2 ]
Момент инерции при вращательном движении туловища человека определяют опытным путем и рассчитывают приблизительно по формулам для цилиндра, круглого стержня или шара.
Момент инерции человека относительно вертикальной оси вращения, которая проходит через центр масс (центр масс тела человека находится в сагиттальной плоскости немного впереди второго крестцового позвонка), в зависимости от положения человека, имеет следующие значения: при стойке “смирно” – 1,2 кг×м 2 ; при позе «арабеск» – 8 кг×м 2 ; в горизонтальном положении – 17 кг× м 2 .
Работа во вращательном движении совершается при вращении тела под действием внешних сил.
Элементарная работа силы во вращательном движении равна произведению момента силы на элементарный угол поворота тела:
dA i =M i × dj (1.21)
Если на тело действует несколько сил, то элементарная работа равнодействующей всех приложенных сил определяется по формуле:
dA=M× dj (1.22),
где М – суммарный момент всех внешних сил, действующих на тело.
Кинетическая энергия вращающегося тела W к зависит от момента инерции тела и угловой скорости его вращения:
Момент импульса (момент количества движения) – величина, численно равная произведению импульса тела на радиус вращения.
L=p× r=m× V× r (1.24).
После соответствующих преобразований можно записать формулу для определения момента импульса в виде:
(1.25).
Момент импульса – вектор, направление которого определяется по правилу правого винта. Единицей измерения момента импульса в СИ является [кг×м 2 /с]
Основные законы динамики вращательного движения.
Основное уравнение динамики вращательного движения:
Угловое ускорение тела, совершающего вращательное движение, прямо пропорционально суммарному моменту всех внешних сил и обратно пропорционально моменту инерции тела.
(1.26).
Данное уравнение играет ту же роль при описании вращательного движения, что и второй закон Ньютона для поступательного движения. Из уравнения видно, что при действии внешних сил угловое ускорение тем больше, чем меньше момент инерции тела.
Второй закон Ньютона для динамики вращательного движения можно записать в ином виде:
(1.27),
т.е. первая производная от момента импульса тела по времени равна суммарному моменту всех внешних сил, действующих на данное тело.
Закон сохранения момента импульса тела:
Если суммарный момент всех внешних сил, действующих на тело, равен нулю, т.е.
S M i =0 , тогда dL/dt=0 (1.28).
Из этого следует или (1.29).
Это утверждение составляет сущность закона сохранения момента импульса тела, который формулируется следующим образом:
Момент импульса тела остается постоянным, если суммарный момент внешних сил, действующих на вращающееся тело, равен нулю.
Этот закон является справедливым не только для абсолютно твердого тела. Примером является фигурист, который выполняет вращение вокруг вертикальной оси. Прижимая руки, фигурист уменьшает момент инерции и увеличивает угловую скорость. Чтобы затормозить вращения, он, наоборот, широко разводит руки; в результате момент инерции увеличивается, и угловая скорость вращения уменьшается.
В заключение приведем сравнительную таблицу основных величин и законов, характеризующих динамику поступательного и вращательного движений.
Таблица 1.4.
| Поступательное движение | Вращательное движение | ||
| Физическая величина | Формула | Физическая величина | Формула |
| Масса | m | Момент инерции | J=m×r 2 |
| Сила | F | Момент силы | M=F×r, если |
| Импульс тела (количество движения) | p=m×V | Момент импульса тела | L=m×V×r; L=J×w |
| Кинетическая энергия | Кинетическая энергия | ||
| Механическая работа | dA=FdS | Механическая работа | dA=Mdj |
| Основное уравнение динамики поступательного движения | Основное уравнение динамики вращательного движения | , | |
| Закон сохранения импульса тела |
или
 если
| Закон сохранения момента импульса тела | или SJ i w i =const, если |
Центрифугирование.
Разделение неоднородных систем, состоящих из частиц различной плотности, может быть произведено под действием силы тяжести и силы Архимеда (выталкивающей силы). Если есть водная суспензия частиц различной плотности, то на них действует результирующая сила
F р =F т – F А =r 1 ×V×g - r×V×g , т.е
F р =(r 1 - r)× V×g (1.30)
где V – объем частицы, r 1 и r – соответственно плотности вещества частицы и воды. Если плотности незначительно отличаются друг от друга, то результирующая сила мала и расслоение (осаждение) происходит достаточно медленно. Поэтому используют принудительное разделение частиц за счет вращения разделяемой среды.
Центрифугированием называется процесс разделения (сепарации) неоднородных систем, смесей или взвесей, состоящих из частиц различной массы, происходящий под действием центробежной силы инерции.
Основу центрифуги составляет ротор с гнездами для пробирок, расположенный в закрытом корпусе, который приводится во вращение электродвигателем. При вращении с достаточно высокой скоростью ротора центрифуги частицы взвеси, различные по масссе, под действием центробежной силы инерции распределяются слоями на различной глубине, а наиболее тяжелые осаждаются на дне пробирки.
Можно показать, что сила, под действием которой происходит сепарация, определяется по формуле:
(1.31)
где w - угловая скорость вращения центрифуги, r – расстояние от оси вращения. Эффект центрифугирования тем больше, чем больше различие плотностей сепарируемых частиц и жидкости, а также существенно зависит от угловой скорости вращения.
Ультрацентрифуги, работающие при скорости вращения ротора порядка 10 5 –10 6 оборотов в минуту, способны разделить частицы размером менее 100нм, взвешенные или растворенные в жидкости. Они нашли широкое применение в медико-биологических исследованиях.
С помощью ультрацентрифугирования можно разделить клетки на органеллы и макромолекулы. Вначале оседают (седиментируют) более крупные части (ядра, цитоскелет). При дальнейшем увеличении скорости центрифугирования последовательно оседают более мелкие частицы – сначала митохондрии, лизосомы, затем микросомы и, наконец, рибосомы и крупные макромолекулы. При центрифугировании различные фракции оседают с различной скоростью, образуя в пробирке отдельные полосы, которые можно выделить и исследовать. Фракционированные клеточные экстракты (бесклеточные системы) широко используют для изучения внутриклеточных процессов, например для изучения биосинтеза белка, расшифровки генетического кода.
Для стерилизации наконечников в стоматологии используется масляный стерилизатор с центрифугой, с помощью которой удаляется излишнее масло.
Центрифугирование можно использовать для осаждения частиц, взвешенных в моче; отделения форменных элементов от плазмы крови; разделения биополимеров, вирусов и субклеточных структур; контроля за чистотой препарата.
Задания для самоконтроля знаний.
Задание1 . Вопросы для самоконтроля.
Чем отличается равномерное движение по окружности от равномерного прямолинейного движения? При каком условии тело будет двигаться равномерно по окружности?
Объясните причину того, что равномерное движение по окружности происходит с ускорением.
Может ли криволинейное движение происходить без ускорения?
При каком условии момент силы равен нулю? принимает наибольшее значение?
Укажите границы применимости закона сохранения импульса, момента импульса.
Укажите особенности сепарации под действием силы тяжести.
Почему разделение белков с различными молекулярными массами можно проводить при помощи центрифугирования, а метод фракционной перегонки оказывается неприемлемым?
Задание 2 . Тесты для самоконтроля.
Вставьте пропущенное слово:
Изменение знака угловой скорости свидетельствует об изменении_ _ _ _ _ вращательного движения.
Изменение знака углового ускорения свидетельствует об изменении_ _ _ вращательного движения
Угловая скорость равна _ _ _ _ _производной угла поворота радиус-вектора по времени.
Угловое ускорение равно _ _ _ _ _ _производной угла поворота радиус-вектора по времени.
Момент силы равен_ _ _ _ _, если направление действующей на тело силы совпадает с осью вращения.
Найдите правильный ответ:
Момент силы зависит только от точки приложения силы.
Момент инерции тела зависит только от массы тела.
Равномерное движение по окружности происходит без ускорения.
А. Правильно. В. Неправильно.
Скалярними являются все перечисленные величины, за исключением
А. момента силы;
В. механической работы;
С. потенциальной энергии;
Д. момента инерции.
Векторными величинами являются
А. угловая скорость;
В. угловое ускорение;
С. момент силы;
Д. момент импульса.
Ответы : 1 – направления; 2 – характера; 3 – первой; 4 – второй; 5 – нулю; 6 – В; 7 – В; 8 – В; 9 – А; 10 – А, В, С, Д.
Задание 3 . Получите связь между единицами измерения:
линейной скорости см/мин и м/с;
углового ускорения рад/мин 2 и рад/с 2 ;
момента силы кН×см и Н×м;
импульса тела г×см/с и кг×м/с;
момента инерции г×см 2 и кг×м 2 .
Задание 4 . Задачи медико-биологического содержания.
Задача №1. Почему в полетной фазе прыжка спортсмен не может никакими движениями изменить траекторию движения центра тяжести тела? Совершают ли мышцы спортсмена работу при изменении положения частей тела в пространстве?
Ответ: Движениями в свободном полете по параболе спортсмен может только изменять расположение тела и его отдельных частей относительно своего центра тяжести, который в данном случае является центром вращения. Спортсмен совершает работу по изменению кинетической энергии вращения тела.
Задача №2. Какую среднюю мощность развивает человек при ходьбе, если продолжительность шага 0,5с? Считать, что работа затрачивается на ускорение и замедление нижних конечностей. Угловое перемещение ног около Dj=30 о. Момент инерции нижней конечности равен 1,7кг× м 2 . Движение ног рассматривать как равнопеременное вращательное.
Решение:
1)Запишем краткое условие задачи: Dt= 0,5с; Dj =30 0 =p/ 6; I =1,7кг× м 2
2) Определим работу за один шаг (правая и левая нога): A= 2×Iw 2 / 2=Iw 2 .
Используя формулу средней угловой скорости w ср =Dj/Dt, получим: w= 2w ср = 2×Dj/Dt; N=A/Dt= 4×I×(Dj) 2 /(Dt) 3
3) Подставим числовые значения: N =4× 1,7× (3,14) 2 /(0,5 3 × 36)=14,9(Вт)
Ответ: 14,9 Вт.
Задача №3. Какова роль движения рук при ходьбе?
Ответ : Движение ног, перемещающихся в двух параллельных плоскостях, находящихся на некотором расстоянии друг от друга, создает момент сил, стремящийся повернуть корпус человека вокруг вертикальной оси. Руками человек размахивает «навстречу» движению ног, создавая тем самым момент сил противоположного знака.
Задача №4. Одним из направлений усовершенствования бормашин, применяемых в стоматологии, является увеличение скорости вращения бора. Скорость вращения борного наконечника в ножных бормашинах составляет 1500 оборотов в минуту, в стационарных электробормашинах – 4000 об/мин, в турбинных бормашинах – уже достигает 300000 об/мин. Зачем разрабатываются новые модификации бормашин с большим числом оборотов в единицу времени?
Ответ: Дентин в несколько тысяч раз более восприимчив к болевым ощущениям, чем кожа: на 1мм 2 кожи приходится 1-2 болевые точки, а на 1мм 2 дентина резцов – до 30000 болевых точек. Увеличение числа оборотов по данным физиологов уменьшает боль при обработке кариозной полости.
Задание 5 . Заполните таблицы:
Таблица №1 . Проведите аналогию между линейными и угловыми характеристиками вращательного движения и укажите связь между ними.
Таблица №2.
Задание 6. Заполните ориентировочную карту действия:
| Основные задания | Указания | Ответы |
| Для чего в начальной стадии исполнения сальто гимнаст сгинает колени и прижимает их к груди, а в конце вращения выпрямляет тело? | Используйте для анализа процесса понятие момента импульса и закон сохранения момента импульса. | |
| Объясните, почему стоять на цыпочках (или держать тяжелый груз) так тяжело? | Рассмотрите условия равновесия сил и их моментов. | |
| Как изменится угловое ускорение при увеличении момента инерции тела? | Проанализируйте основное уравнение динамики вращательного движения. | |
| Как зависит эффект центрифугирования от разности в плотностях жидкости и частиц, которые сепарируются? | Рассмотрите силы, действующие при центрифугировании и соотношения между ними |
Глава 2. Основы биомеханики.
Вопросы.
Рычаги и сочленения в опорно-двигательном аппарате человека. Понятие о степенях свободы.
Виды сокращения мышц. Основные физические величины, описывающие мышечные сокращения.
Принципы двигательной регуляции у человека.
Методы и приборы для измерения биомеханических характеристик.
2.1. Рычаги и сочленения в опорно-двигательном аппарате человека.
Анатомия и физиология двигательного аппарата человека обладают следующими особенностями, которые необходимо учитывать при биомеханических расчетах: движения тела определяются не только мышечными силами, но и внешними силами реакции, силой тяжести, инерционными силами, а также упругими силами и трением; структура двигательного аппарата допускает исключительно вращательные движения. С помощью анализа кинематических цепей поступательные движения могут быть сведены к вращательным движениям в суставах; движения управляются с помощью очень сложного кибернетического механизма, так что происходит постоянное изменение ускорений.
Опорно-двигательный аппарат человека состоит из сочлененных между собой костей скелета, к которым в определенных точках прикрепляются мышцы. Кости скелета действуют как рычаги, которые имеют точку опоры в сочленениях и приводятся в движение силой тяги, возникающей при сокращении мышц. Различают три вида рычага :
1) Рычаг, к которому действующая сила F и сила сопротивления R приложены по разные стороны от точки опоры. Примером такого рычага является череп, рассматриваемый в сагиттальной плоскости.
2) Рычаг, у которого действующая сила F и сила сопротивления R приложены по одну сторону от точки опоры, причем, сила F приложена к концу рычага, а сила R - ближе к точке опоры. Данный рычаг дает выигрыш в силе и проигрыш в расстоянии, т.е. является рычагом силы . Пример - действие свода стопы при подъеме на полупальцы, рычаги челюстно-лицевого отдела (рис. 2.1). Движения жевательного аппарата очень сложны. При закрывании рта поднимание нижней челюсти из положения максимального опускания до положения полного смыкания ее зубов с зубами верхней челюсти осуществляется движением мышц, поднимающих нижнюю челюсть. Эти мышцы действуют на нижнюю челюсть как на рычаг второго рода с точкой опоры в суставе (дающий выигрыш при жевании в силе).
3) Рычаг, у которого действующая сила приложена ближе к точке опоры, чем сила сопротивления. Данный рычаг является рычагом скорости , т.к. дает проигрыш в силе, но выигрыш в перемещении. Пример - кости предплечья.
Рис. 2.1. Рычаги челюстно-лицевого отдела и свода стопы.
Большинство костей скелета находится под действием нескольких мышц, развивающих усилия по различным направлениям. Равнодействующая их находится путем геометрического сложения по правилу параллелограмма.
Кости опорно-двигательного аппарата соединяются между собой в сочленениях или суставах. Концы костей, образующих сустав, удерживаются вместе с помощью плотно охватывающей их суставной сумки, а также прикрепленных к костям связок. Для уменьшения трения соприкасающиеся поверхности костей покрыты гладким хрящом и между ними имеется тонкий слой клейкой жидкости.
Первой ступенью биомеханического анализа двигательных процессов является определение их кинематики. На основе такого анализа строятся абстрактные кинематические цепи, подвижность или устойчивость которых может быть проверена исходя из геометрических соображений. Различают замкнутые и разомкнутые кинематические цепи, образуемые суставами и расположенными между ними жесткими звеньями.
Состояние свободной материальной точки в трехмерном пространстве задается тремя независимыми координатами – х, y, z . Независимые переменные, которые характеризуют состояние механической системы, называются степенями свободы . У более сложных систем количество степеней свободы может быть выше. Вообще, количество степеней свободы определяет не только количество независимых переменных (что характеризует состояние механической системы), но и количество независимых перемещений системы.
Число степеней свободы является основной механической характеристикой сустава, т.е. определяет число осей , вокруг которых возможно взаимное вращение сочленненых костей. Обусловлено оно главным образом геометрической формой поверхности костей, соприкасающихся в суставе.
Максимальное число степеней свободы в суставах – 3.
Примерами одноосного (плоского) сочленения в организме человека являются плечелоктевое, надпяточное и фаланговые соединения. Они допускают только возможность сгибания и разгибания с одной степенью свободы. Так, локтевая кость с помощью полукруглой выемки охватывает цилиндрический выступ на плечевой кости, который и служит осью сустава. Движения в суставе – сгибание и разгибание в плоскости, перпендикулярной оси сустава.
Лучезапястный сустав, в котором осуществляется сгибание и разгибание, а также приведение и отведение, можно отнести к суставам с двумя степенями свободы.
К суставам с тремя степенями свободы (пространственное сочленение) относятся тазобедренное и лопаточно-плечевое сочленение. Например, в лопаточно-плечевом сочленении шаровидная головка плечевой кости входит в сферическую впадину выступа лопатки. Движения в суставе – сгибание и разгибание (в сагиттальной плоскости), приведение и отведение (в фронтальной плоскости) и вращение конечности вокруг продольной оси.
Замкнутые плоские кинематические цепи обладают числом степеней свободы f F , которое вычисляется по числу звеньев n следующим образом:
Ситуация для кинематических цепей в пространстве более сложная. Здесь выполняется соотношение
(2.2)
гдеf i - число ограничений степеней свободы i- го звена.
В любом теле можно выбрать такие оси, направление которых при вращении будет сохраняться без любых специальных устройств. Они имеют название свободные оси вращения
ЛЕКЦИЯ №4
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ КИНЕТИКИ И ДИНАМИКИ
ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ. МЕХАНИЧЕСКИЕ
СВОЙСТВА БИОТКАНЕЙ. БИОМЕХАНИЧЕСКИЕ
ПРОЦЕССЫ В ОПОРНО-ДВИГАТЕЛЬНОМ АППАРАТЕ
ЧЕЛОВЕКА.
1. Основные законы кинематики вращательного движения.
Вращательные движения тела вокруг неподвижной оси является наиболее простым видом движения. Оно характеризуется тем, что любые точки тела описывают окружности, центры которых расположены на одной прямой 0 ﺍ 0 ﺍﺍ , которая называется осью вращения (рис.1).
При этом положение тела в любой момент времени определяется углом поворота φ радиуса вектора R любой точки А относительно своего начального положения. Зависимость его от времени:
(1)
является уравнением вращательного движения. Быстрота вращения тела характеризуется угловой скоростью ω. Угловая скорость всех точек вращательного тела одинакова. Она является векторной величиной. Этот вектор направлен по оси вращения и связан с направлением вращения правилом правого винта:
.
(2)
При равномерном движении точки по окружности
,
(3)
где Δφ=2π – угол, соответствующий одному полному обороту тела, Δt=T – время одного полного оборота, или период вращения. Единица измерения угловой скорости [ω]=c -1 .
При равномерном движении ускорение тела характеризуется угловым ускорением ε (вектор его расположен аналогично вектору угловой скорости и направлен согласно с ним при ускоренном и в обратном направлении – при замедленном движении):
.
(4)
Единица измерения углового ускорения [ε]=c -2 .
Вращательное движение можно характеризовать также линейной скоростью и ускорением его отдельных точек. Длина дуги dS, описываемой любой точкой А (рис.1) при повороте на угол dφ определяется по формуле: dS=Rdφ. (5)
Тогда
линейная скорость точки
:
.
(6)
Линейное ускорение а :
.
(7)
2. Основные законы динамики вращательного движения.
Вращение тела вокруг оси вызывается силой F, приложенной к любой точке тела, действующей в плоскости перпендикулярной оси вращения и направленной (или имеющей составляющую в этом направлении) перпендикулярно радиусу вектору точки приложения (рис.1).
Моментом
силы
относительно центра вращения называют
векторную величину, численно равную
произведению силы
на длину перпендикуляраd,
опущенного из центра вращения на
направление силы, называемого плечом
силы. На рис.1 d=R,
поэтому
.
(8)
Момент
вращающей силы является векторной
величиной. Вектор
приложен к центру окружности О и направлен
вдоль оси вращения. Направление вектора
согласуется с направлением силы по
правилу правого винта. Элементарная
работаdA i ,
при повороте на малый угол dφ,
когда тело проходит малый путь dS,
равна:
Мерой инертности тела при поступательном движении является масса. При вращении тела мера его инертности характеризуется моментом инерции тела относительно оси вращения.
Моментом инерции I i материальной точки относительно оси вращения называют величину, равную произведению массы точки на квадрат расстояния её от оси (рис.2):
.
(10)
Моментом инерции тела относительно оси называют сумму моментов инерции материальных точек, из которых состоит тело:
.
(11)
Или
в пределе (n→∞):
,
(12)
г
де
интегрирование производится по всему
объёмуV.
Подобным образом вычисляются моменты
инерции однородных тел правильной
геометрической формы. Момент инерции
выражается в кг·м 2 .
Момент инерции человека относительно вертикальной оси вращения, проходящей через центр масс (центр масс человека находится в сагиттальной плоскости несколько впереди второго крестового позвонка), в зависимости от положения человека имеет следующие значения: 1,2 кг·м 2 при стойке «смирно»; 17 кг·м 2 – в горизонтальном положении.
При вращении тела его кинетическая энергия складывается из кинетических энергий отдельных точек тела:
Продифференцировав (14), получим элементарное изменение кинетической энергии:
.
(15)
Приравняв элементарную работу
(формула 9) внешних сил к элементарному
изменению кинетической энергии (формула
15), получим:
,
откуда:
или, учитывая, что
получим:
.
(16)
Это уравнение называется основным уравнением динамики вращательного движения. Эта зависимость аналогична IIзакону Ньютона для поступательного движения.
Моментом импульса L i материальной точки относительно оси называется величина, равная произведению импульса точки на расстояние её до оси вращения:
.
(17)
Момент импульса Lтела, вращающегося вокруг неподвижной оси:
Момент импульса есть векторная величина, ориентированная по направлению вектора угловой скорости.
Теперь возвратимся к основному уравнению (16):
,
.
Подведём постоянную величину
Iпод знак дифференциала
и получим:
,
(19)
где Mdtназывают
импульсом момента силы. Если на тело не
действуют внешние силы (М=0), то равно
нулю и изменение момента количества
движения (dL=0). Это означает,
что момент импульса остаётся постоянным:
.
(20)
Этот вывод называется законом сохранения момента импульса относительно оси вращения. Его используют, например, при вращательных движениях относительно свободной оси в спорте, например в акробатике и т.д. Так, фигурист на льду, изменяя в процессе вращения положение тела и соответственно момент инерции относительно оси вращения, может регулировать свою скорость вращения.
В этой главе твердое тело рассматривается как совокупность материальных точек, не смещающихся друг относительно друга. Такое не поддающееся деформации тело называется абсолютно твердым.
Пусть твердое тело произвольной формы вращается под действием силы вокруг неподвижной оси 00 (рис. 30). Тогда все его точки описывают окружности с центрами на этой оси. Понятно, что все точки тела имеют одинаковую угловую скорость и одинаковое угловое ускорение (в данный момент времени).
Разложим действующую силу на три взаимно перпендикулярные составляющие: (параллельную оси), (перпендикулярную оси и лежащую на линии, проходящей через ось) и (перпендикулярную Очевидно, что вращение тела вызывает только составляющая являющаяся касательной к окружности, описываемой точкой приложения силы. Составляющие вращения не вызывают. Назовем вращающей силой. Как известно из школьного курса физики, действие силы зависит не только от ее величины, но и от расстояния точки ее приложения А до оси вращения, т. е. зависит от момента силы. Моментом вращающей силы (вращающим моментом) называется произведение вращающей силы на радиус окружности описываемой точкой приложения силы:
Мысленно разобьем все тело на очень малые частицы - элементарные массы. Хотя сила приложена к одной точке А тела, ее вращающее действие передается всем частицам: к каждой элементарной массе будет приложена элементарная вращающая сила (см. рис. 30). Согласно второму закону Ньютона,
где линейное ускорение, сообщаемое элементарной массе. Умножая обе части этого равенства на радиус окружности, описываемой элементарной массой, и вводя вместо линейного угловое ускорение (см. § 7), получим
Учитывая, что вращающий момент, приложенный к элементарной массе, и обозначая
где момент инерции элементарной массы (материальной точки). Следовательно, моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси вращения называется произведение массы материальной точки на квадрат ее расстояния до этой оси.
Суммируя вращающие моменты приложенные ко всем элементарным массам, составляющим тело, получим
где вращающий момент, приложенный к телу, т. е. момент вращающей силы момент инерции тела. Следовательно, моментом инерции тела называется сумма моментов инерции всех материальных точек, составляющих тело.
Теперь можно переписать формулу (3) в виде
Формула (4) выражает основной закон динамики вращения (второй закон Ньютона для вращательного движения):
момент вращающей силы, приложенной к телу, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение.
Из формулы (4) видно, что угловое ускорение, сообщаемое телу вращающим моментом, зависит от момента инерции тела; чем больше момент инерции, тем меньше угловое ускорение. Следовательно, момент инерции характеризует инерционные свойства тела при вращательном движении подобно тому, как масса характеризует инерционные свойства тела при поступательном движении, Однако в отличие от массы момент инерции данного тела может иметь множество значений в соответствии с множеством возможных осей вращения. Поэтому, говоря о моменте инерции твердого тела, необходимо указывать, относительно какой оси он рассчитывается. На практике обычно приходится иметь дело с моментами инерции относительно осей симметрии тела.
Из формулы (2) следует, что единицей измерения момента инерции является килограмм-квадратный метр
Если вращающий момент и момент инерции тела то формулу (4) можно представить в виде
Для вывода этого закона рассмотрим простейший случай вращательного движения материальной точки. Разложим силу, действующую на материальную точку на две составляющие: нормальную -и касательную -(рис. 4.3). Нормальная составляющая силы приведёт к появлению нормального (центростремительного) ускорения: ; , гдеr = ОА - радиус окружности.
Касательная сила вызовет появление касательного ускорения. В соответствии со вторым законом Ньютона F t =ma t или F cos a=ma t .
Выразим касательное ускорение через угловое: a t =re. Тогда F cos a=mre. Умножим это выражение на радиус r: Fr cos a=mr 2 e. Введём обозначение r cos a = l, где l - плечо силы, т.е. длина перпендикуляра, опущенного из оси вращения на линию действия силы . Посколькуmr 2 =I - момент инерции материальной точки, а произведение=Fl= M - момент силы, то
Произведение момента силы М на время её действия dt называется импульсом момента силы. Произведение момента инерции I на угловую скоростьw называется моментом импульса тела: L=Iw. Тогда основной закон динамики вращательного движения в форме (4.5) можно сформулировать следующим образом: импульс момента силы равен изменению момента импульса тела. В такой формулировке этот закон аналогичен второму закону Ньютона в виде (2.2).
Конец работы -
Эта тема принадлежит разделу:
Краткий курс физики
Министерство образования и науки Украины.. одесская национальная морская академия..
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
| Твитнуть |
Все темы данного раздела:
Основные единицы СИ
В настоящее время общепринятой является Международная система единиц - СИ. Эта система содержит семь основных единиц: метр, килограмм, секунда, моль, ампер, кельвин, кандела и две дополнительные -
Механика
Механика - наука о механическом движении материальных тел и происходящих при этом взаимодействиях между ними.
Под механическим движением понимают изменение с течением времени взаимного пол
Нормальное и касательное ускорения
Рис. 1.4
Движение материальной точки по криволинейной траект
Законы Ньютона
Динамика - раздел механики, в котором изучается движение материальных тел под воздействием приложенных к ним сил. В основе механики лежат законы Ньютона.
Первый закон Ньютона
Закон сохранения импульса
Рассмотрим вывод закона сохранения импульса на основе второго и третьего законов Ньютона.
Связь между работой и изменением кинетической энергии
Рис. 3.3
Пусть тело массой т движется вдоль оси х под
Связь между работой и изменением потенциальной энергии
Рис. 3.4
Эту связь мы установим на примере работы силы тяжес
Закон сохранения механической энергии
Рассмотрим замкнутую консервативную систему тел. Это означает, что на тела системы не действуют внешние силы, а внутренние силы по своей природе являются консервативными.
Полной механическ
Соударения
Рассмотрим важный случай взаимодействия твёрдых тел - соударения. Соударением (ударом) называется явление конечного изменения скоростей твёрдых тел за весьма малые промежутки времени при их непо
Закон сохранения момента импульса
Рассмотрим изолированное тело, т.е. такое тело на которое не действует внешний момент сил. Тогда Mdt = 0 и из (4.5) следует d(Iw)=0, т.е. Iw=const. Если изолированная система состоит
Гироскоп
Гироскопом называется симметричное твёрдое тело, вращающееся вокруг оси, совпадающей с осью симметрии тела, проходящей через центр масс, и соответствующей наибольшему собственному моменту инерции.
Общая характеристика колебательных процессов. Гармонические колебания
Колебаниями называются движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени.
В технике устройства, использующие колебательные процессы могут выполнять оп
Колебания пружинного маятника
Рис. 6.1
Укрепим на конце пружины тело массой m, которое мож
Энергия гармонического колебания
Рассмотрим теперь на примере пружинного маятника процессы изменения энергии в гармоническом колебании.
Очевидно, что полная энергия пружинного маятника W=Wk+Wp, где кинетическая
Сложение гармонических колебаний одинакового направления
Решение ряда вопросов, в частности, сложение нескольких колебаний одинакового направления, значительно облегчается, если изображать колебания графически, в виде векторов на плоскости. Полученная та
Затухающие колебания
В реальных условиях в системах, совершающих колебания, всегда присутствуют силы сопротивления. В результате система постепенно расходует свою энергию на выполнение работы против сил сопротивления и
Вынужденные колебания
В реальных условиях колеблющаяся система постепенно теряет энергию на преодоление сил трения, поэтому колебания являются затухающими. Чтобы колебания были незатухающими, необходимо каким-то образом
Упругие (механические) волны
Процесс распространения возмущений в веществе или поле, сопровождающийся переносом энергии, называется волной.
Упругие волны - процесс распространения в упругой среде механически
Интерференция волн
Интерференцией называется явление наложения волн от двух когерентных источников, в результате которого происходит перераспределение интенсивности волн в пространстве, т.е. возникают интерференци
Стоячие волны
Частным случаем интерференции является образование стоячих волн. Стоячие волны возникают при интерференции двух встречных когерентных волн с одинаковой амплитудой. Такая ситуация может возни
Эффект Допплера в акустике
Звуковыми волнами называют упругие волны с частотами от 16 до 20000 Гц, воспринимаемые органами слуха человека.
Звуковые волны в жидких и газообразных средах являются продольными. В твёрды
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов
Рассмотрим в качестве простейшей физической модели идеальный газ. Идеальным называется такой газ, для которого выполняются следующие условия:
1) размеры молекул настолько малы, ч
Распределение молекул по скоростям
Рис.16.1
Предположим, чтонам удалось измерить скорости всех
Барометрическая формула
Рассмотрим поведение идеального газа в поле силы тяжести. Как известно, по мере подъёма от поверхности Земли давление атмосферы уменьшается.
Найдём зависимость давления атмосферы от высоты
Распределение Больцмана
Выразим давление газа на высотах h иh0 через соответствующее число молекул в единице объёмап ип0, считая, что на разных высотахT=const:
P =
Первое начало термодинамики и его применение к изопроцессам
Первое начало термодинамики - это обобщение закона сохранения энергии с учётом тепловых процессов. Его формулировка: количество теплоты, сообщённое системе, расходуется на выполнение работы
Число степеней свободы. Внутренняя энергия идеального газа
Числом степеней свободы называется число независимых координат, которыми описывается движение тела в пространстве. Материальная точка имеет три степени свободы, поскольку при её движении в п
Адиабатный процесс
Адиабатным называется процесс, происходящий без теплообмена с окружающей средой.
В адиабатном процессеdQ = 0, поэтому первое начало термодинамики применительно к этому процессу прин
Обратимые и необратимые процессы. Круговые процессы (циклы). Принцип действия тепловой машины
Обратимыми называются такие процессы, которые удовлетворяют следующим условиям.
1. После прохождения этих процессов и возвращения термодинамической системы в исходное состояние в
Идеальная тепловая машина Карно
Рис. 25.1
В 1827 г. французский военный инженер С. Карно, ре
Второе начало термодинамики
Первое начало термодинамики, которое является обобщением закона сохранения энергии с учётом тепловых процессов, не указывает на направленность протекания различных процессов в природе. Так, первое
Невозможен процесс, единственным результатом которого была бы передача теплоты от холодного тела к горячему
В холодильной машине теплота передаётся от холодного тела (морозильной камеры) в более нагретую окружающую среду. Казалось бы, что это противоречит второму началу термодинамики. На самом деле проти
Энтропия
Введём теперь новый параметр состояния термодинамической системы - энтропию, которая принципиально отличается от других параметров состояния направленностью своего изменения. Элементарное измене
Дискретность электрического заряда. Закон сохранения электрического заряда
Источником электростатического поля служит электрический заряд - внутренняя характеристика элементарной частицы, определяющая ее способность вступать в электромагнитные взаимодействия.
Энергия электростатического поля
Найдём вначале энергию заряженного плоского конденсатора. Очевидно, что эта энергия численно равна работе, которую нужно совершить, чтобы разрядить конденсатор.
Основные характеристики тока
Электрическим током называется упорядоченное (направленное) движение заряженных частиц.
Сила тока численно равна заряду, прошедшему через поперечное сечение проводника за единицу
Закон Ома для однородного участка цепи
Однородным называется участок цепи, не содержащий источника ЭДС.
Ом экспериментально установил, что сила тока на однородном участке цепи пропорциональна напряжению и обратно пропорц
Закон Джоуля - Ленца
Джоуль и независимо от него Ленц экспериментально установили, что количество теплоты, выделенной в проводнике с сопротивлением R за время dt, пропорционально квадрату силы тока, сопротивлен
Правила Кирхгофа
Рис. 39.1
Для расчёта сложных цепей постоянного тока применя
Контактная разность потенциалов
Если два разнородных металлических проводника привести в контакт, то
электроны получают возможность переходить из одного проводника в другой и обратно. Равновесное состояние такой системы
Эффект Зеебека
Рис. 41.1
В замкнутой цепи из двух разнородных металлов на г
Эффект Пельтье
Второе термоэлектрическое явление - эффект Пельтъе состоит в том, что при пропускании электрического тока через контакт двух разнородных проводников в нём происходит выделение или поглощени