Если не учитывать колебательные движения в молекуле углекислого газа, то средняя кинетическая энергия молекулы равна …
Решение: Средняя кинетическая энергия молекулы равна: , где – постоянная Больцмана, – термодинамическая температура; – сумма числа поступательных, вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы: . Для молекулы углекислого газа число степеней свободы поступательного движения , вращательного – , колебательного – , поэтому Следовательно, средняя кинетическая энергия молекулы равна: .
ЗАДАНИЕ N 2 Тема: Первое начало термодинамики. Работа при изопроцессах
На
рисунке представлена диаграмма
циклического процесса идеального
одноатомного газа:
За
цикл газ получает количество теплоты
(в ),
равное …
Решение:
Цикл
состоит из изохорного нагревания (4–1),
изобарного расширения (1–2), изохорного
охлаждения (2–3) и изобарного сжатия
(3–4). На первых двух этапах цикла газ
получает теплоту. Согласно первому
началу термодинамики, количество
теплоты, получаемое газом, равно 
,
где –
изменение внутренней энергии, –
работа газа. Тогда .
Таким
образом, количество теплоты, получаемое
газом за цикл, равно
ЗАДАНИЕ N 3 Тема: Второе начало термодинамики. Энтропия
В ходе необратимого процесса при поступлении в неизолированную термодинамическую систему тепла для приращения энтропии верным будет соотношение …
Решение:
Отношение в
обратимом процессе есть полный
дифференциал функции состояния системы,
называемой энтропией системы: 
.
В изолированных системах энтропия не
может убывать при любых, происходящих
в ней процессах: .
Знак равенства относится к обратимым
процессам, а знак «больше» – к необратимым
процессам. Если в неизолированную
систему поступает тепло и происходит
необратимый процесс, то энтропия
возрастает за счет не только полученного
тепла, но и необратимости процесса: .
Задание n 4 Тема: Распределения Максвелла и Больцмана
На
рисунке представлен график функции
распределения молекул идеального газа
по скоростям (распределение Максвелла),
где 
–
доля молекул, скорости которых заключены
в интервале скоростей от до в
расчете на единицу этого интервала:
Для
этой функции верными являются утверждения
…
|
положение максимума кривой зависит не только от температуры, но и от природы газа (его молярной массы) |
|||
|
при увеличении числа молекул площадь под кривой не изменяется |
|||
|
с ростом температуры газа значение максимума функции увеличивается |
|||
|
для газа с бόльшей молярной массой (при той же температуре) максимум функции расположен в области бόльших скоростей |
Решение:
Из
определения функции распределения
Максвелла следует, что выражение 
определяет
долю молекул, скорости которых заключены
в интервале скоростей от до (на
графике это – площадь заштрихованной
полоски). Тогда площадь под кривой
равна 
и
не изменяется при изменении температуры
и числа молекул газа. Из формулы наиболее
вероятной скорости 
(при
которой функция максимальна)
следует, чтопрямо
пропорциональна и
обратно пропорциональна ,
где и –
температура и молярная масса газа
соответственно.
ЗАДАНИЕ N 5 Тема: Электростатическое поле в вакууме
На
рисунках представлены графики зависимости
напряженности поля для
различных распределений заряда:
График
зависимости для
шара радиуса R
,
равномерно заряженного по объему,
показан на рисунке …
ЗАДАНИЕ N 6 Тема: Законы постоянного тока
На
рисунке представлена зависимость
плотности тока j
,
протекающего в проводниках 1 и 2, от
напряженности электрического
поля Е
:
Отношение
удельных сопротивлений r 1 /r 2 этих
проводников равно …
ЗАДАНИЕ N 7 Тема: Магнитостатика
Рамка
с током с магнитным дипольным моментом ,
направление которого указано на рисунке,
находится в однородном магнитном
поле:
Момент
сил, действующих на магнитный диполь,
направлен …
|
перпендикулярно плоскости рисунка к нам |
|||
|
перпендикулярно плоскости рисунка от нас |
|||
|
по направлению вектора магнитной индукции |
|||
|
противоположно вектору магнитной индукции |
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ ТАТАРСТАН
АЛЬМЕТЬЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ
Кафедра физики
на тему: «Закон кубов Дебая»
Выполнил студент группы 18-13В Гонтарь И. В. Преподаватель: Мухетдинова З. З.
Альметьевск 2010
1. Энергия кристаллической решетки …………………………… 3
2. Модель Эйнштейна …………………………………………….. 6
3. Модель Дебая ………………………………………………….. 7
4. Закон кубов Дебая ……………………………………………… 8
5. Достижения Дебая ……………………………………………… 9
6. Список литературы …………………………………………….. 12
Энергия кристаллической решетки
Особенность твердого тела - наличие дальнего и ближнего порядков. В идеальном кристалле частицы занимают определенные положения и не надо учитывать N! при статистических расчетах.
Энергия кристаллической решетки одноатомного кристалла состоит из двух основных вкладов: E = U o + E кол. Колеблются атомы в решетке. У многоатомных частиц, образующих кристалл, надо учитывать и внутренние степени свободы: колебания и вращения. Если не учитывать ангармоничность колебаний атомов, дающую зависимость U o от температуры (изменение равновесных положений атомов), U o можно приравнять потенциальной энергии кристалла и не зависящей от Т. При Т = 0 энергия кристаллической решетки, т.е. энергия для удаления частиц кристалла на бесконечное расстояние будет равна Е кр = - E о = - (U o + E о,кол).
Здесь E о,кол - энергия нулевых колебаний. Обычно эта величина имеет порядок 10 кДж/ моль и много меньше U o. Считают Екр = - Uo. (Метод наибольшего слагаемого). Екр в ионных и молекулярных кристаллах до 1000 кДж/моль, в молекулярных и в кристаллах с водородными связями: до 20 кДж/моль (СР 4 - 10, Н 2 О - 50). Величины определяют из опыта или считают на основе какой-либо модели: ионное взаимодействие по кулону, ван-дер-ваальсовы силы по потенциалу Сазерленда.
Рассмотрим ионный кристалл NaCl, имеющий гранецентрированную кубическую решетку: в решетке у каждого иона 6 соседей противоположного знака на расстоянии R, в следующем втором слое 12 соседей того же знака на расстоянии 2 1/2 R, 3-ий слой: 8 ионов на расстоянии 3 1/2 R, 4-ый слой: 6 ионов на расстоянии 2R и т.д.
Потенциальная
энергия кристалла из 2N ионов будет U =
Nu, где u - энергия энергия взаимодействия
иона с соседями. Энергия взаимодействия
ионов состоит из двух членов:
короткодействующего отталкивания за
счет валентных сил (1-й член) и
притяжения или отталкивания зарядов:
знак + для отталкивание одинаковых,
- притяжения разных ионов. e -заряд. Введем
величину приведенного расстояния р ij
=
r ij
/ R, где r ij
- расстояние между ионами, R - параметр
решетки.
Энергия взаимодействия иона со всеми соседями где
Постоянная
Маделунга = 6/1 - 12/2 1/2
+
8/3 1/2
- 6/2
+ .... Здесь - для одинаковых по знаку
заряда ионов, + для разных. Для NaCl a
= 1,747558... A n
= S
1/ p ij n
в первом члене. Расстояние R o
(половина
ребра куба в данном случае) отвечает
минимуму потенциальной
энергии при Т = 0 и его можно определить
из данных кристаллографии и зная
потенциал отталкивания. Очевидно, что
и тогда
Отсюда
находим A n
и энергия
или
.
n - параметр потенциала отталкивания и обычно ³ 10, т.е. основной вклад вносит кулоновское взаимодействие (считаем при этом, что R заметно не зависит от Т), а отталкивание дает менее 10%.
Для
NaCl кулоновское взаимодействие 862,
отталкивание 96 кДж/моль (n = 9). Для
молекулярных кристаллов можно считать
по потенциалу 6-12 и энергия будет равна
z 1 - число атомов в 1-ой координационной сфере, R 1 - радиус первой координационной сферы, b - параметр потенциала.
Для неионных кристаллов надо учитывать колебательную составляющую энергии. Поступательные и вращательные движения при абсолютном нуле отсутствуют. Остается колебательная составляющая энергии. Колебаний 3N - 6, но поступательные и вращательные относятся к кристаллу в целом. Грубо можно считать 3N, т.к. N (велико, число частиц в кристалле). Тогда все 3N степеней свободы кристалла из N частиц колебательные. В принципе легко посчитать сумму по состояниям и термодинамические функции. Но надо знать спектр частот колебаний кристалла. Дело в том, что смещение частицы вызывает смещение других и осцилляторы связаны. Полная сумма по состояниям колебательного движения будет определена:
.
Т.к.
это кристалл, то на N ! делить не надо.
Средняя энергия равна производной lnZ
по Т при постоянном V, умноженной на kT 2 .
Отсюда энергия решетки равна сумме
вкладов потенциальной и колебательной
энергии,
а энтропия S = E/ T + k ln(Z).
Для расчета используют две основные модели.
Модель Эйнштейна
Все
частоты считаются одинаковыми:
совокупность одномерных
гармонических осциллятров. Сумма по
состояниям трехмерного осциллятора
состоит из 3 одинаковых членов q = [ 2sh(hn/
2kT)] -3 .
Для N частиц будет 3N сомножителей.
Т.е. энергия
При
высоких Т, разлагая экспоненту в ряд,
предел sh(hn/ 2kT) = hn/ 2kT и
Энтропия
колебательного движения
Теплоемкость
кристаллов:
У
ОП ошибка. Отсюда при больших Т >> q Э
= hn/ k предел C v
®
3Nk: Закон Дюлонга-Птидля одноатомных
кристаллов. И 
(Экспонента
быстро стремится к 0).
В классическом приближении Е кол без нулевых колебаний равна 3NkT и вклад колебаний в теплоемкость 3Nk = 3R. Расчет по Эйнштейну: нижняя кривая, более заметно отклоняющаяся от опытных данных.
Модель Эйнштейна дает уравнение состояния твердого тела: (по Мелвин-Хьюзу)
u o = - q возгонки, m, n - опытные параметры, так для ксенона m = 6, n = 11, a o - межатомное расстояние при Т = 0. Т.е. pV/ RT = f(n, a o , n, m).
Но вблизи Т = 0 предположения Эйнштейна об одинаковых частотах не работает. Осцилляторы могут различаться силой взаимодействия и частотой. Опыт при низких температурах показывает кубическую зависимость от температуры.
Модель Дебая
Дебай
предложил модель существования
непрерывного спектра частот
(строго для низких частот, для тепловых
колебаний - фононов) вплоть до некой
максимальной. Функция распределения
по частотам гармонических
осцилляторов имеет вид 
,
где c l
,
c t
- скорости распространения продольных
и поперечных волн колебаний. При частотах
выше максимальной g = 0.
Площади
под двумя кривыми должны быть одинаковыми.
Реально существует некоторый спектр
частот, кристалл неизотропен (обычно
этим пренебрегают и полагают скорости
распространения волн по направлениям
одинаковыми). Может быть, что
максимальная частота
Дебая выше реально существующих, что
следует из условия равенства площадей.
Значение максимальной частоты определяется
по условию, что полное число колебаний
равно 3N (при этом пренебрегаем дискретностью
энергии)
и
,
с - скорость движения волны. Полагаем,
что скорости c l
и c t
равны. Характеристическая температура
Дебая Q D
= hn м
/ k.
Введем х = hn/ kT. Средняя энергия колебаний тогда при максимальном
Второй
член под интегралом даст Е нулевых
колебаний Е о
=
(9/8)NkQ D
и
тогда колебательная энергия
кристалла: 
Так как U o и Е o не зависят от Т, то вклад в теплоемкость даст 2-й член в выражении для энергии.
Введем
функцию Дебая
При
высоких Т получим очевидное D(x) ®
1. Дифференцируя
по х, получим
.
При
высоких Т предел C V
= 3Nk, а при низких:
.
При малых Т верхний предел интегрирования стремится к бесконечности, E - E o = 3Rp 4 T 4 /5Q D 3 и получим формулу для определения C v при Т® 0: где
Получили Закон кубов Дебая .
Закон кубов Дебая.
Характеристическая температура Дебая зависит от плотности кристалла и скорости распространения колебаний (звука) в кристалле. Строго интеграл по Дебаю надо решать на ЭВМ.
Характеристическая температура Дебая (Физ. энциклопедия)
Na 150 Cu 315 Zn 234 Al 394 Ni 375 Ge 360 Si 625
A.У 157 342 316 423 427 378 647
Li 400 K 100 Be 1000 Mg 318 Ca 230 B 1250 Ga 240
As 285 Bi 120 Ar 85 In 129 Tl 96 W 310 Fe 420
Ag 215 Au 170 Cd 120 Hg 100 Gd 152 Pr 74 Pt 230
La 132 Cr 460 Mo 380 Sn(белое) 170, (серое) 260 C(алмаз) 1860
Для оценки характеристической температуры Дебая можно пользоваться эмпирической формулой Линдеманна: Q D =134,5[Тпл/ (АV 2/3)] 1/2 , здесь А - атомная масса металла. Для температуры Эйнштейна аналогично, но 1-ый множитель берут 100.
Достижения Дебая
Дебай – автор фундаментальных трудов по квантовой теории твердого тела. В 1912 он ввел представление о кристаллической решетке как об изотропной упругой среде, способной совершать колебания в конечном диапазоне частот (модель твердого тела Дебая). Исходя из спектра этих колебаний показал, что при низких температурах теплоемкость решетки пропорциональна кубу абсолютной температуры (закон теплоемкости Дебая). В рамках своей модели твердого тела ввел понятие характеристической температуры, при которой для каждого вещества становятся существенными квантовые эффекты (температура Дебая). В 1913 вышла одна из самых известных работ Дебая, посвященная теории диэлектрических потерь в полярных жидкостях. Примерно в это же время были опубликованы его работы по теории дифракции рентгеновских лучей. С изучением дифракции связано начало экспериментальной деятельности Дебая. Вместе со своим ассистентом П.Шеррером он получил рентгенограмму тонко измельченного порошка LiF. На фотографии были отчетливо видны кольца, получающиеся при пересечении рентгеновских лучей, дифрагировавших от случайно ориентированных кристалликов вдоль образующих конусов, с фотопленкой. Метод Дебая – Шеррера, или метод порошков, долгое время применялся в качестве основного при рентгеноструктурном анализе. В 1916 Дебай совместно с А.Зоммерфельдом применил условия квантования для объяснения эффекта Зеемана, ввел магнитное квантовое число. В 1923 объяснил эффект Комптона. В 1923 Дебай в соавторстве со своим ассистентом Э.Хюккелем опубликовал две большие статьи по теории растворов электролитов. Изложенные в них представления послужили основой теории сильных электролитов, получившей название теории Дебая – Хюккеля. С 1927 интересы Дебая сосредоточились на вопросах химической физики, в частности на изучении молекулярных аспектов диэлектрического поведения газов и жидкостей. Он занимался также исследованием дифракции рентгеновских лучей на изолированных молекулах, что позволило определить структуру многих из них.
Основным объектом научных интересов Дебая во время его работы в Корнеллском университете стала физика полимеров. Он разработал метод определения молекулярного веса полимеров и их формы в растворе, основанный на измерении рассеяния света. Одна из последних его крупных работ (1959) была посвящена вопросу, чрезвычайно актуальному и сегодня, – изучению критических явлений. Среди наград Дебая – медали Х.Лоренца, М.Фарадея, Б.Румфорда, Б.Франклина, Дж.Гиббса (1949), М.Планка (1950) и др. Умер Дебай в Итаке (США) 2 ноября 1966.
Дебай - выдающийся, представитель голландской науки - получил Нобелевскую премию по химии в 1936 г. Обладая исключительной разносторонностью, он внес большой вклад в развитие не только химии, но и физики. Эти заслуги принесли Дебаю большую известность; ему присвоили почетные звания Доктора наук более 20 университетов мира (Брюссельский, Оксфордский, Бруклинский, Бостонский и другие). Он был награжден многими медалями и премиями, в том числе Фарадея, Лоренца. Планка. С 1924 г. Дебай - чл.-корр. АН СССР.
Закон куб ів Дебая ” , у відповідності з яким. ... простору). Відповідні закони збереження (а також закон збереження електричного заряду) є ...
Основні поняття та закони хімії. Конспект лекцій
Конспект >> Химия... закони хімії 1.3.1 Закон збереження маси 1.3.2 Закон сталості складу 1.3.3 Закон кратних відношень 1.3.4 Закон еквівалентів 1.3.5 Закон об’єм відношень 1.3.6 Закон ... честь голандського фізика П. Дебая : 1 D = ... мноцентрований куб (ОЦК), гранецентрований куб (ГЦК...
Розвиток фінансового механізму газового комплексу України
Дипломная работа >> Финансовые науки1000 куб . метрів газу на кожні 100 кілометрів відстані. Згідно Закону ... обсяг списаних сум сумнівної деб іторської заборгованості; 5) Кредиторська заборговані ... 0 0 інші фінансові інвестиції 045 0 0 Довгострокова деб іторська заборгованість 050 0 0 Відстрочен...
Непрямі податки та їх вплив на фінансово-господарську діяльність підприємств
Дипломная работа >> Финансовые наукиВід оподаткування у випадках, передбачених статтею 5 Закону , у податковій накладній робиться запис "Без... 25]. Співвідношення короткострокової деб іторської та кредиторської заборгованостей – ... років 3,0 євро за 1 куб . см 2,4 євро за 1 куб . см Інші автомобілі з...
Если одному молю двухатомного газа было передано 5155 Дж теплоты и при этом газ совершил работу, равную 1000 Дж, то его температура повысилась на ………….. K. (связь между атомами в молекуле жесткая)
Изменение внутренней энергии газа произошло только за счет работы
сжатия газа в………………………………..процессе.
адиабатическом
Продольными волнами являются
звуковые волны в воздухе
Сопротивление R , катушка индуктивности L = 100 Гн и конденсатор С = 1мкФ соединены последовательно и подключены к источнику переменного напряжения, изменяющегося по закону
Потеря энергии переменного тока за период на конденсаторе в цепи электрической цепи равна...............................(ВТ)
Если КПД цикла Карно равен 60%, то температура нагревателя больше температуры холодильника в ………………………… раз(а).
Энтропия изолированной термодинамической системы…………..
не может убывать.
На рисунке схематически изображен цикл Карно в координатах. Увеличение энтропии имеет место на участке ……………………………….
Единицей измерения количества вещества является….............
Изохоры идеального газа в координатах P-Т представляют собой..........................................
Изобары идеального газа в координатах V-Т представляют собой….
УКАЖИТЕ НЕВЕРНОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ
Чем больше индуктивность катушки, тем быстрее разряжается конденсатор
Если магнитный поток через замкнутый контур равномерно возрастает от 0,5 Вб до 16 Вб за 0,001 с, то зависимость магнитного потока от времени t имеет вид
1,55*10в4Т+0.5В
Колебательный контур состоит из из катушки индуктивности L = 10 Гн, конденсатора С = 10 мкФ и cопротивления R = 5 Ом. Добротность контура равна ……………………………
Один моль идеального одноатомного газа в ходе некоторого процесса получил 2507 Дж теплоты. При этом его температура понизилась на 200 К. Работа, совершенная газом, равна …………………………Дж.
Идеальному одноатомному газу в изобарном процессе подведено количество теплоты Q. При этом на увеличение внутренней энергии газа расходуется..........……% подводимого количества теплоты
Если не учитывать колебательные движения в молекуле углекислого газа, тосредняя кинетическая энергия молекулы равна ……………
УКАЖИТЕ НЕВЕРНОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ
Чем больше индуктивность в колебательном контуре, тем больше циклическая частота.
Максимальное значение КПД, которое может иметь тепловой двигатель с температурой нагревателя 3270 С и температурой холодильника 270С составляет ………… %.
На рисунке изображен цикл Карно в координатах (T,S), где S – энтропия. Адиабатное расширение происходит на участке ………………………..
Процесс, изображенный на рисунке в координатах (T,S), где S-энтропия, является……………………
адиабатным расширением.
Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси OХ, имеет вид. Длина волны (в м) равна …
Напряжение на катушке индуктивности от силы тока по фазе.......................
Опережает на ПИ/2
Резистор с сопротивлением R = 25 Ом, катушка с индуктивностью L= 30 мГн и конденсатор с ёмкостью
С= 12 мкФ соединены последовательно и подключены к источнику переменного напряжения, изменяющегося по закону U = 127 cos 3140t . Эффективное значение тока в цепи равно ……………А
Уравнение Клапейрона-Менделеева выглядит следующим образом …….
УКАЖИТЕ НЕВЕРНОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ
Ток самоиндукции всегда направлен навстречу тому току, изменение которого порождает ток самоиндукции
Уравнение плоской синусоидальной волны, распространяющейся вдоль оси ОХ, имеет вид. Амплитуда ускореия колебаний частиц среды равна...................................
Т6.26-1 Укажите неверное утверждение
Вектор Е(напряженность переменного электрического поля) всегда антипараллелен вектору дЕ/дТ
Уравнение Максвелла, описывающее отсутствие в природе магнитных зарядов, имеет вид........................
Если не учитывать колебательные движения в молекуле водорода при температуре 100 К, то кинетическая энергия всех молекул в 0.004 кг водорода равна…………………….Дж
Двум молям молекулы водорода сообщили 580 Дж теплоты при постоянном давлении. Если связь между атомами в молекуле жесткая, то температура газа повысилась на ……………….К
На рисунке изображен цикл Карно в координатах (T, S), где S – энтропия. Изотермическое расширение происходит на участке …………………
В процессе обратимого адиабатического охлаждения постоянной массы идеального газа его энтропия ……………
не меняется.
Если частица с зарядом которой, движется в однородном магнитном поле с индукцией B по окружности радиусом R, то модуль импульса частицы равен
Реальный контур состоит из катушки индуктивности и конденсатора. Реальная катушка не может считаться только индуктивностью, которая накапливает магнитную энергию. Во-первых, провод обладает конечной проводимостью, во-вторых, между витками накапливается электрическая энергия, т.е. имеет место межвитковая ёмкость. То же самое можно сказать и о емкости. Реальная емкость помимо самой емкости будет иметь в своем составе индуктивности выводов и сопротивление потерь.
Для упрощения задачи рассмотрим модель реального колебательного контура с катушкой индуктивности состоящей всего из двух витков.
Эквивалентная схема будет иметь вид, приведённый на рисунке на рис. 4. ( и - индуктивность и сопротивление одного витка, - межвитковая ёмкость).
Однако, как показывает опыт радиоинженера, в большинстве случаев нет необходимости эту сложную схему.
Уравнение для электрической цепи, изображенной на рис. 5 получим на основе закона Кирхгофа. Используем второе правило: сумма падений напряжений на элементах контура равна алгебраической сумме внешних ЭДС, включенных в этот контур. В нашем случае ЭДС равна нулю, и получим:
Разделим слагаемые на и обозначим
Уравнение для идеального контура примет вид:
Имея модели двух динамических систем, можно уже сделать некоторые выводы.
Простое сравнение уравнений (В.6) и (В.9) показывает, что маятник при малых отклонениях и идеальный контур описываются одним и тем же уравнением, известным как уравнение гармонического осциллятора, которое в стандартной форме имеет вид:
Следовательно, и маятник, и контур как колебательные системы обладают одинаковыми свойствами. Это и есть проявление единства колебательных систем.
Имея эти модели, уравнения, их описывающие, и обобщая полученные результаты, дадим классификацию динамических систем по виду дифференциального уравнения. Системы бывают линейные и нелинейные.
Линейные системы описываются линейными уравнениями (см. (В.11) и (В.15)). Нелинейные системы описываются нелинейными уравнениями (например, уравнение математического маятника (В.9)).
Другим признаком классификации является число степеней свободы . Формальным признаком служит порядок дифференциального уравнения, описывающего движение в системе. Система с одной степенью свободы описывается уравнением 2-го порядка (или двумя уравнениями первого порядка); система с N степенями свободы описывается уравнением или системой уравнений порядка 2N.
В зависимости от того как изменяется энергия колебательного движения в системе, все системы делятся на два класса: консервативные системы – те, у которых энергия остаётся неизменной, и неконсервативные системы – те, у которых энергия изменяется с течением времени. В системе с потерями энергия убывает, однако возможны случаи, когда энергия возрастает. Такие системы называются активными.
Динамическая система может подвергаться и не подвергаться внешнему воздействию. В зависимости от этого различают четыре типа движения.
1.Собственные, или свободные колебания, системы. В этом случае от внешнего источника система получает конечный запас энергии и источник отключается. Движение системы при конечном начальном запасе энергии и представляет собственные колебания.
2.Вынужденные колебания. Система находится под действием внешнего периодического источника. Источник оказывает «силовое» воздействие, т.е. природа источника та же, что и у динамической системы (в механической системе – источник силы, в электрической – ЭДС и т.д.). Колебания обусловленные внешним источником, называются вынужденными. При отключении они исчезают.
3.Параметрические колебания наблюдаются в системах, у которых периодически во времени изменяется какой-либо параметр, например, ёмкость в контуре или длина маятника. Природа внешнего источника который, изменяет параметр, может отличаться от природы самой системы. Например, ёмкость можно изменять механически.
Нужно отметить, что строгое разделение вынужденных и параметрических колебаний возможно лишь для линейных систем.
4.Особый вид движения – автоколебания. Термин впервые введён академиком Андроновым. Автоколебание – это периодическое колебание, период, форма и амплитуда которого зависят от внутреннего состояния системы и не зависят от начальных условий. С энергетической точки зрения автоколебательные системы являются преобразователями энергии некоторого источника в энергию периодических колебаний.
Глава 1.СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ (ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР)
Уравнение такой системы имеет вид:
(примерами могут служить математический маятник при малых углах отклонения и идеальный колебательный контур). Решим уравнение (1.1) подробно, пользуясь классическим методом Эйлера. Ищем частное решение в виде:
где и – постоянные, пока неизвестные константы. Подставим (1.2) в уравнение (1.1)
Разделим обе части уравнения на и получим алгебраическое, так называемое характеристическое, уравнение:
Корни этого уравнения
где – мнимая единица. Корни мнимые и комплексно-сопряжённые.
Как известно, общее решение есть сумма частных, т.е.
Мы полагаем, что есть действительная величина. Чтобы это выполнялось, постоянные и должны быть комплексно сопряженными, т.е.
Две постоянные и определяются из двух начальных условий:
Решение в форме (1.8) преимущественно используется в теории; для прикладных задач оно не удобно, так как и не измеряются. Перейдём к форме решения, которое наиболее употребительно на практике. Представим комплексные постоянные в полярной форме:
Подставим их в (1.8) и воспользуемся формулой Эйлера
где - амплитуда колебаний, - начальная фаза.
И определяются из начальных условий. Заметим, что начальная фаза зависит от начала отсчёта во времени. Действительно, постоянную можно представить в виде:
Если начало отсчёта во времени совпадает с , начальная фаза равна нулю. Для гармонического колебания сдвиг по фазе и сдвиг во времени эквивалентны.
Разложим косинус в (1.13) на косинусоидальную и синусоидальную составляющие. Получим ещё одно представление:
Если и известны, то нетрудно найти амплитуду и фазу колебания, используя следующие соотношения:
Все три формы записи (1.8, 1.12, 1.15) эквивалентны. Использование конкретной формы определяется удобством рассмотрения конкретной задачи.
Анализируя решение, можно сказать , что собственные колебания гармонического осциллятора есть гармоническое колебание, частота которого зависит от параметров системы и не зависит от начальных условий; от начальных условий зависят амплитуда и начальная фаза.
Независимость от начальных условий частоты (периода) собственных колебаний называется изохорностью .
Рассмотрим энергию гармонического осциллятора на примере колебательного контура. Уравнение движения в контуре
Умножим слагаемые этого уравнения на :
После преобразования его можно представить в виде:
Найдем закон изменения энергии в конденсаторе. Ток в емкостной ветви можно найти используя следующее выражение
Подставив (1.28) в формулу для нахождения электрической энергии получим закон изменения электрической энергии на конденсаторе
Таким образом, энергия в каждом элементе контура колеблется с удвоенной частотой. График этих колебаний приведен на рис. 6.
В начальный момент времени вся энергия сосредоточена в емкости, магнитная энергия ровна нулю. По мере разряда емкости через индуктивность электрическая энергия из емкости переходит в магнитную энергию индуктивности. Через четверть периода вся энергия сосредотачивается в индуктивности, т.е. емкость полностью разрядилась. Затем этот процесс периодически повторяется.
Таким образом, колебание в идеальном контуре – это переход электрической энергии в магнитную и обратно, периодически повторяющийся во времени.
Этот вывод справедлив для любых электромагнитных колебательных систем, в частности для объемных резонаторов, где магнитная и электрическая энергия пространственно не разделены.
Обобщая этот результат, можно утверждать, что колебательный процесс в линейной консервативной системе – это периодический переход энергии одного типа в другой. Так, при колебаниях маятника кинетическая энергия переходит в потенциальную и наоборот.