Цепь c реактивными элементами L и С запасает энергию как в магнитном, так и в электрическом поле, поэтому в ней отсутствуют скачки тока и напряжения. Найдем переходные i и , связанные с запасами энергии в RLC -цепи (рис. 7.13), при ее включении на произвольное напряжение u , считая конденсатор С предварительно разряженным.
Уравнение состояния цепи удовлетворяет второму закону Кирхгофа:
.
Выразив ток через емкостное напряжение:
,
получим уравнение
,
порядок которого определен числом элементов в цепи, способных к накоплению энергии. Поделив обе части уравнения на коэффициент LC при производной высшего порядка, найдем уравнение переходного процесса:
, (7.17)
общее решение которого состоит из суммы двух слагаемых:
Принужденная составляющая определяется видом приложенного напряжения. При включении цепи на ток установившегося режима и все напряжение будет приложено к емкости . При включении цепи на 
установившиеся ток и напряжения на элементах R, L, C
будут синусоидальны. Принужденную составляющую рассчитывают символическим методом, а затем переходят от комплекса к мгновенному значению .
Свободную составляющую определяют из решения однородного уравнения
(7.18)
как сумму двух экспонент (два элемента накопления энергии L , C ):
где - корни характеристического уравнения
.
Характер свободной составляющей зависит от вида корней
, (7.20)
которые могут быть действительными или комплексными, и определяется соотношением параметров RLC -цепи.
Возможны три варианта переходного процесса:
- апериодический , когда переходные ток и напряжения приближаются к конечному установившемуся режиму без изменения знака. Условие возникновения:
(7.21)
где - критическое сопротивление
. При этом корни характерис-тического уравнения - действительные, отрицательные и
разные: ; постоянные времени также разные: ;
- предельный режим апериодического .Условие возникновения:
. (7.22)
Корни характеристического уравнения - действительные, отрицательные и равные: ; постоянные времени также равны: 
. Предельному режиму соответствует общее решение однородного уравнения (7.18) в виде
; (7.23)
- периодический, иликолебательный , когда переходные ток и напряжения приближаются к конечному установившемуся режиму, периодически изменяя знак и затухая во времени по синусоиде. Условие возникновения:
. (7.24)
Корни характеристического уравнения - комплексно сопряженные с отрицательной действительной частью:
где α - коэффициент затухания :
ω св - угловая частота свободных (собственных) колебаний :
. (7.26)
Переходный процесс в этом случае - результат колебательного обмена энергией с частотой свободных колебаниймежду реактивными элементами L и C цепи. Каждое колебание сопровождается потерями в активном сопротивлении R , обеспечивающими затухание с постоянной времени .
Общее решение уравнения (7.18) при колебательном переходном процессе имеет вид
где А и γ - постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.
Запишем напряжение u C и ток i , связанные с запасами энергии в цепи, для случая вещественных и разных корней характеристического уравнения:
Из начальных условий
(7.30)
определим постоянные интегрирования А 1 и А 2 .
Рассмотрим включение RLC- цепи на напряжение . Принужденные составляющие емкостного напряжения и тока определяются из конечного установившегося режима при и равны:
. (7.31)
Тогда система уравнений (7.30) для определения постоянных интегрирования принимает вид
(7.32)
Решение системы (7.32) дает:
; (7.33)
. (7.34)
В результате подстановки принужденных составляющих и постоянных А 1 и А 2 в выражения для переходных напряжения u C (t ) (7.28) и тока i (t ) (7.29) получим:
; (7.35)
так как согласно теореме Виета 
.
Зная переходный ток, запишем переходные напряжения:
;
. (7.37)
В зависимости от вида корней возможны три варианта переходного процесса.
1. При переходный процесс- апериодический , тогда
На рис. 7.14, а , б приведены кривые , и их составляющие; на рис. 7.14, в кривые , , представлены на одном графике.
Как следует из кривых (рис. 7.14, в
), ток в цепи растет плавно от нуля до максимума, а затем плавно убывает до нуля. Время t
1 достижения максимума тока определяют из условия 
. Максимуму тока соответствуют точка перегиба кривой емкостного напряжения (
) и нуль индуктивного напряжения (
).
Напряжение в момент коммутации возрастает скачком до U
0 , затем уменьшается, проходит через нуль, меняет знак, возрастает по модулю до максимума и снова уменьшается, стремясь к нулю. Вре-
мя t
2 достижения максимума напряжения на индуктивности определяют из условия 
. Максимуму соответствует точка перегиба кривой тока, так как 
.
На участке роста тока () ЭДС самоиндукции, препятствующая росту, отрицательна. Напряжение, затрачиваемое источником на преодоление ЭДС, 
. На участке убывания тока () ЭДС , а напряжение, уравновешивающее ЭДС, .
2. При в цепи возникает предельный (пограничный ) режим апериодического переходного процесса; кривые , и подобны кривым на рис. 7.14, характер процесса не меняется.
3. При в цепи возникает периодический (колебательный )переходный процесс, когда
где - резонансная частота , на которой в RLC -цепи будет резонанс.
Подставив сопряженные комплексы в уравнение для емкостного напряжения (7.35), получим:
Подставив сопряженные комплексы в уравнение для тока (7.36), получим:
Подставив комплексы в (7.37), получим для напряжения на индуктивности
Для построения зависимостей , , необходимо знать период собственных колебаний 
и постоянную времени 
.
На рис. 7.15 приведены кривые , и для достаточно большой постоянной . Порядок построения следующий: сначала строят огибающие кривые (на рис. 7.15 – пунктирные кривые) по обе стороны от конечного установившегося режима. С учетом начальной фазы в том же масштабе, что и t, откладывают четверти периода, в которых синусоида достигает максимума или обращается в нуль. Синусоиду вписывают в огибающие таким образом, чтобы она касалась огибающих в точках максимума.
Как следует из кривых u С
(t
), i
(t
) и u L
(t
), емкостное напряжение отстает от тока по фазе на четверть периода, а индуктивное опережает ток на четверть периода, находясь в противофазе с емкостным напряжением. Нуль индуктивного напряжения () и точка перегиба кривой емкостного напряжения () соответствуют максимуму тока./Максимуму индуктивного напряжения соответствует точка перегиба кривой тока ().
Ток i (t ) и напряжение u L (t ) совершают затухающие колебания около нулевого значения, напряжение u С (t ) – около установившегося U 0 . Емкостное напряжение в первую половину периода достигает максимальной величины, не превышая 2U 0 .
В случае идеального колебательного контура w
называемый логарифмическим декрементом затухания .
Идеальному колебательному контурусоответствует .
Переходные процессы в RLC цепях
Линейные цепи 2-го порядка содержат два разнотипных реактивных элемента L и C. Примерами таких цепей являются последовательный и параллельный резонансные контуры (рис.1).
Рис. 1. Линейные цепи второго порядка: а - последовательный резонансный контур; б - параллельный резонансный контур
Переходные процессы в колебательных контурах описываются дифференциальными уравнениями 2-го порядка. Рассмотрим случай разряда емкости на RL цепь (рис.2). Составим уравнение цепи по первому закону Кирхгофа:
После дифференцирования (1) получим
Рис. 2.
Решение U с (t) уравнения (2) находим как сумму свободной U св (t) и принужденной U пр составляющих
U с =U св +U пр. (3)
U пр зависит от Е, а U св (t) определяется решением однородного дифференциального уравнения вида
Характеристическое уравнение для (4) имеет вид
LCpІ + RCp + 1 = 0, (5)
Корни характеристического уравнения
Величину R/2L = б называют коэффициентом затухания, - резонансной частотой контура. При этом
Характер переходных процессов в контуре зависит от вида корней p 1 и p 2 . Они могут быть:
1) вещественные, различные при R > 2с, Q < 0,5;
2) вещественные и равные при R = 2с, Q = 0,5;
3) комплексно-сопряженные при R < 2с, Q > 0,5.
Здесь - характеристическое сопротивление, Q = с/R - добротность контура.
В схеме рис. 2 до коммутации при t<0 емкость заряжена до напряжения U c (0 -) = E. После коммутации емкость начинает разряжаться и в контуре возникает переходный процесс. В случае 1 при Q < 0,5 решение уравнения (2) имеет вид
Для нахождения постоянных интегрирования А 1 и А 2 запишем выражение для тока в цепи
Используя начальные условия U c (0 -) = E и i(0 -) = 0, получаем систему уравнений
Из решения системы имеем
В результате для тока и напряжений в контуре получим
Переходные процессы в цепях второго порядка
Определение независимой переменной.
I L - независимая переменная
Составляем дифференциальное уравнение для переходного процесса в цепи и записываем общее решение.
I L (t)=i св (t)+i пр
Определим начальные условия.
IL(0)=E/R=19.799А
Запишем решение дифф. уравнения для свободной составляющей.
i св (t)=A*e бt *sin(wt+и)
Z вх =2R+jwL+1/jwC
p=-883.833-7.016i*10 3
ф=1/|б|=1.131*10 -3
T=2р/w=8.956*10 -4
Определим принужденные составляющие при t=?
Определим постоянный интегрирования Aи и
U L (t)=LAбwe бt *sin(wt+и)
i L (t)=Ae бt *sin(wt+и)
LAб*sin и+ LAw*cosи =0
р Acos и=2.494
tg и=19.799/Acos и=7.938
Спектральное представление периодических процессов в электрических цепях
Во многих случаях в установившемся режиме кривые периодических э.д.с., напряжений и токов в электрических цепях могут отличаться от синусоидальных. При этом непосредственное применение символического метода для расчета цепей переменного тока становится невозможным. Для линейных электрических цепей задача расчета может быть решена на основе метода суперпозиции с использованием спектрального разложения несинусоидальных напряжений и токов в ряд Фурье. В общем случае ряд Фурье содержит постоянную составляющую, первую гармонику, частота которой совпадает с частотой щ 1 =2р/T периодического с периодом T тока или напряжения, и набор высших гармоник с частотами щ n =nщ 1 , кратными основной частоте щ 1 . Для большинства периодических функций ряд Фурье содержит бесконечное число членов. На практике ограничиваются конечным числом членов ряда. При этом исходная периодическая функция будет представлена с помощью ряда Фурье с некоторой погрешностью.
Пусть имеется периодическая с периодом Т э.д.с. е(t)=e(t±nT), удовлетворяющая условиям Дирихле (функция на интервале Т имеет конечное число разрывов и экстремумов). Такая функция может быть представлена суммой гармонических составляющих с различными амплитудами Е n , частотами щ n =nщ 1 и начальными фазами ц n в виде ряда Фурье
Ряд Фурье можно представить в другой форме:
Постоянная составляющая Е 0 и коэффициенты ряда Фурье В n и С n рассчитываются по формулам
Для нечетных функций е(t) коэффициенты С n =0, а для четных B n =0, Связь между коэффициентами B n , C n и амплитудами Е n и фазами ц n гармоник определяется соотношениями
Диаграмма, на которой изображают зависимость амплитуды гармоник E n от частоты щ n =nщ 1 , называют спектром.
Используя метод суперпозиции и спектральное представление периодической э.д.с. в виде ряда Фурье электрическую цепь можно рассчитать по следующей методике:
1. Несинусоидальная периодическая э.д.с. е(t) раскладывается в ряд Фурье и определяются амплитуды E n и фазы ц n всех гармоник э.д.с.
2. В интересующей ветви рассчитываются токи i 0 , i 1 ,...i n , создаваемые каждой гармоникой э.д.с.
3. Искомый ток в ветви находится как сумма токов
Так как составляющие тока i(t) либо постоянная величина i 0 , либо синусоидальные токи i n , то для их определения применяют известные методы расчета цепей постоянного и переменного синусоидального токов.
Лабораторная работа №4
Цель работы: исследование переходных процессов в RLC – цепях при воздействии прямоугольных импульсов напряжения.
Одним из методов исследования переходных процессов в электрических цепях является операторный метод /1,2/. При этом используется преобразование Лапласа:
определяющее изображение F(p) по известному оригиналу f(t) .
Решение интегро-дифференциального уравнения цепи относительно искомой функции времени (оригинала) сводится к решению алгебраического уравнения для изображения.
1. RC - цепь
Пусть на вход цепи, схема которой приведена на рис.1,а, подается прямоугольный импульс напряжения. Требуется найти форму напряжения на входе цепи, Для этого необходимо выполнить следующие этапы вычислений:
1) записать аналитическое выражение входного сигнала;
2) составить интегро-дифференциальное уравнение цепи;
3) перейти к операторному уравнению;
4) решив операторное уравнение, найти изображение искомой функции;
5) перейти к оригиналу искомой функции.
Аналитическое выражение идеального прямоугольного импульса напряжения амплитуды E запишем в виде.
где l(t) – единичная функция, определяемая условиями:
l(t)=0, если t<0 и l(t)=1, если t>=0.
Выражение (2) представлено графически на рис.1,б. Для t>t u разность единичных функций дает нуль. Уравнение цепи имеет вид
где входное воздействие U(t) определяется выражением (2), U R (t) и i(t) – напряжение на конденсаторе и ток в цепи в произвольный момент времени. Выходное напряжение U R =i(t)R с точностью до множителя R совпадает с i(t) , поэтому выберем i(t) в качестве искомой функции и учтем, что i(t)=dq(t)/dt=CdU C (t)/dt . Тогда (3) с учетом (2) примет вид
Введем изображение тока I(p)=a и применим преобразование Лапласа (1) к обеим частям (4) . С учетом изображения единичной функции и теоремы интегрирования оригинала операторное уравнение примет вид
Решение его
Переход к оригиналу осуществляется также о помощью таблицы 1:
Таблица 1
Некоторые свойства преобразования Лапласа
№ Свойство
Графически зависимость (7) представлена на рис.1,в для случая t< Рассмотрим схему на рис.2,а. Для получения зависимости U c (t) при входном воздействии (2) уравнение (3) представим так: Вводя изображение напряжения U c (p)=a, переходим с помощью табл.1 к операторному уравнению: где учтено, что U c (0)=0. Решая (9) относительно U c (p) и переходя к оригиналу, получим Графически эта зависимость представлена на рис.2,в. Таким образом, как следует из выражений (7) и (10) (см. рис1,в;1,г;2,в), передний и задний фронты входного П-импульса напряжения вызывают в RC-цепи переходной процесс. На переднем фронте происходит протяженный во времени заряд конденсатора (увеличение U c (t)), а ток i(t) по мере заряда конденсатора уменьшается до нуля. При воздействии заднего фронта импульса начинается заряд конденсатора через резистор и источник входного сигнала. Ток при этом течет в противоположном направлении и постепенно уменьшается по абсолютной величине. С этим связано появление на осциллограмме отрицательного выброса U R (t). Время переходного процесса, т.е. время, за которое конденсатор зарядится до напряжения источника E, теоретически бесконечно велико. На практике длительность переходного процесса в RC-цепях характеризуют постоянной времени t=RC , которая показывает, за какой промежуток времени ток в цепи уменьшается в e раз (из (7) при t=t i=0,367(E/R)) или - за какой промежуток времени напряжение на конденсаторе достигнет величины 0,633 E (из (10)) при t=t U c =(1-e -1)E=0,633E). При оценке t по осциллограмме U c (t) следует выполнить условие t< Рассмотрим RL-цепь, схема которой представлена на рис.3,а, для которой входное напряжение U(t)=i(t)R+U L (t) (11) Или с учетом (2) и U L (t)=L di(t)/dt Сравнивая (12) и (4), заметим, что эти уравнения совпадают при взаимной замене искомых функций и введении для RL- цепи постоянной времени t=R/L, поэтому решение (12) запишем по аналогии с (7): где t=L/R . Форма напряжения U L (t) для RL-цепи повторяет форму напряжения U R (t) для RL-цепи (рис.3). Аналогично можно показать, что форма U R (t) для RL-цепи повторяет форму U C (t) для RC-цепи (рис.4). Для этого достаточно из (11) получить уравнение относительно l(t) и сравнить его с (8). Переходной процесс в RL-цепи на переднем и заднем фронте входного импульса обусловлен протяженностью процесса накопления и рассеивания энергии магнитного поля в катушке. В радиоэлектронике применяются цепи, напряжение на входе которых пропорционально производной или интегралу от входного напряжения. Такие цепи называются соответственно дифференцирующие или интегрирующими. Дифференцирующими являются цепи, схемы которых приведены на рис.1 и 3, если их постоянные времени достаточно малы (по сравнению с длительностью входного сигнала). Интегрирующими являются цепи, схемы которых показаны на рис 2. И 4, если их постоянные времени достаточно велики (по сравнению с интервалом интегрирования). Для этого выходное напряжение приходится выбирать существенно меньшим выходного. 3. RLC-цепь. Рассмотрим цепь, схема которой представлена на рис.5,а. Для упрощения расчета рассмотрим воздействие на цепь положительной ступеньки напряжения, т.е. входное воздействие выберем в виде U(t)=E l(t). Тогда уравнение U(t)=U R (t)+U L (t)+U C (t), записанное относительно U C (t), примет вид Переходя к операторному уравнению относительно изображения и решая его, найдем Корни P 1,2 = Уравнения p 2 +(r/L)p+1/LC=0, могут быть комплексными, вещественными(равными в частном случае), поэтому различают колебательный, апериодический и критический режим работы контура. При условии (l/LC)>R 2 /4L 2 имеем колебательный конур. Тогда, полагая p 1 =-s ± jw, где s=R/2L – коэффициент затухания контура, - круговая частота свободных (собственных) колебаний, - резонансная частота контура, перепишем (15) так: Корни знаменателя в (16) простые, поэтому, применяя теорему разложения (см.табл.1) и считая затухание малым , т.е. w=w 0, имеем Отсюда видно, что ток в цепи и напряжение на конденсаторе осциллируют, причем амплитуде осцилляций монотонно убывает, что характерно для переходного процесса в колебательном контуре. 4. Практическая часть 1. Ознакомится с оборудованием (генератор прямоугольных импульсов напряжения, осциллограф, макет). 2.Собрать RC-цепь. С помощью осциллографа просмотреть и зарисовать формы входного импульса напряжения и импульсов напряжения на резисторе и конденсаторе. По осциллограммам оценить постоянную времени цепи t и сравнить ее с произведением RC, где R C – номинальные значения параметров элементов. 3.Выполнить задание п.2 для случаев, когда на одну и ту же RC-цепь действует прямоугольные импульсы напряжения разной длительности и импульс с t u =const действует на RC-цепь, постоянная времени которой изменяется за счет изменения как R , так и C. Рассмотреть случаи t< 4. Выполнить задания пунктов 2 и 3 применимо к RL-цепям. Для случая t< 5. Собрать последовательную RLC-цепь. С помощью осциллографа просмотреть и зарисовать формы входного импульса напряжения и импульсов напряжения на элементах цепи. По осциллограммам напряжения на элементах цепи наблюдать переход от апериодического к колебательному при изменении коэффициента затухания В колебательном режиме оценить период колебаний T и сопоставить его с вычисленным значением. Зарегистрировать зависимость T от емкости С при . 6. Обсудить полученные результаты. 5. Контрольные вопросы 1. Что такое переходной процесс в электрической цепи? 2. Как оценивают длительность переходного процесса? 3. Что такое постоянная времени электрической цепи? 4. Какими выражениями описываются зависимости напряжений на элементах RC и RL – цепей от времени, если входным воздействием являются прямоугольный импульс напряжения? 5. Как оценить постоянную времени электрической цепи по осциллограмме напряжения на элементе цепи? 6. Можно ли оценить t по осциллограмме рис.2,г, используя переходной фронт импульса? 7. Всегда ли одинаковы постоянные времени цепи, оцененные по переднему и заднему фронту импульса? 8. Какие физические процессы происходят в RC и RL –цепях при воздействии прямоугольного импульса напряжения? 9. Почему в RLC-цепи возникает колебательный процесс при прямоугольном импульсе на входе? 10. Как можно качественно объяснить осциллограммы l(t) и U c (t) на рис.5? 11. Каким образом изменяются осциллограммы i(t) и U c (t) на рис.5 при изменении параметров колебательного контура? Гинзбург С.Г. Методы решения задач по переходным процессам в электрических цепях. – М.:Высш.шк.,1967.-388 с. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи. – М.: Высш.шк., 1981. – 334 с. Рассмотрим переходные процессы в RLC-цепях на примере цепи последовательного колебательного контура рис. 4.3,а, потери в котором будем учитывать путем включения в цепь резистораR. Рис.4.3. RLC-цепь (а) и переходные процессы в ней (б) и (в). Переходные процессы в последовательном колебательном контуре при нулевых начальных условиях. Установим ключ К в положение 1, и подключим входное воздействие к контуру. Под действием подключенного источника u в контуре потечет ток i, который создаст напряжения uR, uL, uC . На основании второго закона Кирхгофа для этого контура можно записать следующее уравнение Учитывая, что будем иметь Общее решение уравнения (4.34) будем искать в виде суммы свободной uС св и принужденной uС пр составляющих: Свободная составляющая определяется решением однородного дифференциального уравнения, которое получается из (4.34) при u = 0 Решение (4.36) зависит от корней характеристического уравнения, которое получается из (4.36) и имеет вид Корни этого уравнения определяются только параметрами цепи R, L ,C и равны где α = R/2L - коэффициент затухания контура; Резонансная частота контура. Из (4.38) видно, что корни р1 и р2 зависят от характеристического сопротивления контура и могут быть: при R > 2ρ вещественными и различными; при R < 2ρ комплексно-сопряженными; при R = 2ρ вещественными и равными. При R > 2ρ свободная составляющая будет равна: Пусть входное воздействие u = U = const, тогда принужденная составляющая uпр = U. Учитывая выражение (4.39) и что uпр = U выражение (4.35) примет вид: Зная uС находим ток в контуре Для определения постоянных интегрирования А1 и А2 запишем начальные условия для uC и i при t = 0: Решая систему уравнений (4.42) получаем: Подставляя А1 и А2 в уравнения (4.40) и (4.41) и учитывая, что в соответствии с (4.38) p1 p2=1/LC будем иметь: Так как , то Графики изменения uС, i, uL в последовательном колебательном контуре при условии R > 2ρ приведены на рис. 4.3,б). Моменты времени t1 и t2 определяются соответственно из условий Анализ графиков, описываемых выражениями (4.43 - 4.45) показывает, что при R > 2ρ (при больших потерях) в контуре происходят апериодические процессы. Рассмотрим процессы в контуре при R < 2ρ. В этом случае из (4.38) имеем: где где A и θ - постоянные интегрирования Учитывая (4.47) и что uпр = U находим закон изменения напряжения на емкости Под действием uС в цепи протекает ток Полагая в (4.48) и (4.49) t = 0 и учитывая законы коммутации получим Решая систему уравнений (4.50) находим Подставляя А в (4.48) и (4.49) и учитывая, что находим уравнения описывающие изменения uС, i, uL в контуре для случая R < 2ρ: График изменения напряжения uС, определяемый выражением (4.51) изображен на рис. 4.3,б пунктирной линией. Из рисунка и выражения (4.51) видно, что если последовательный контур имеет малые потери (R < 2ρ), то при подключении к нему источника постоянного напряжения в контуре возникает затухающий колебательный процесс. Переходные процессы в последовательном колебательном контуре при ненулевых начальных условиях. Установим ключ К в цепи рис. 4.3,а в положение 2. При этом произойдет отключение входного воздействия от цепи и цепь замкнется. Поскольку до коммутации цепи конденсатор был заряжен до напряженияuC = U, то в момент замыкания цепи он начнет разряжаться и в цепи возникнет свободный переходной процесс. Если в контуре выполняется условие R> 2ρ, то корни р1 и р2 в (4.38) будут вещественны и различны и решение уравнения (4.36) будет иметь вид Напряжение uC создает ток в цепи Для определения постоянных интегрирования А1 и А2 положим t = 0 и учтем, что на момент коммутации uC = U, i = 0, тогда из (4.54) и (4.55) получим Решая систему уравнений (4.56) находим Подставляя А1 и А2 в (4.54) и (4.55) получаем уравнения для напряжения uC и тока i в цепи контура Из выражений (4.57) и (4.58) видно, что при отключении входного воздействия от цепи контура, который имеет большое затухание (R > 2ρ) происходит апериодический разряд емкости С. Запасенная до отключения входного воздействия энергия в емкости WС = CU2/2 расходуется на покрытие тепловых потерь в резисторе R и создания магнитного поля в индуктивности L. Затем энергия электрического поля емкости WС и магнитная энергия индуктивности WL расходуется в резисторе R. Найдем закон изменения напряжения uC и тока i в цепи, когда контур обладает малыми потерями, т.е. при условии R < 2ρ. В этом случае корни р1 и р2 носят комплексно-сопряженный характер (4.46) и решение уравнения (4.36) имеет вид: Под действием uC в цепи протекает ток Для определения постоянных интегрирования А и θ учтем, что на момент коммутации t = 0, uC = U, i = 0 и подставляя эти значения в (4.59) и (4.60) получаем Решая систему уравнений (4.61) находим Подставляя А и θ в (4.59) и (4.60) и учитывая, что получаем уравнения, определяющие закон изменения напряжения и тока в контуре с малыми потерями Анализ уравнений (4.62) показывает, что при отключении входного воздействия от контура с малыми потерями (R < 2ρ) в нем возникают затухающие колебания с частотой ωС, которая определяется параметрами R, L, C цепи. Графики изменения uC и i изображены на рис. 4.3,в. Скорость затухания периодического процесса характеризуют декрементом затухания, который определяется как отношение двух соседних амплитуд тока или напряжения одного знака В логарифмической форме декремент затухания имеет вид Из (4.64) видно, что затухание тем больше чем больше потери в контуре, которые определяются величиной R. При R ≥ 2ρ переходной процесс в контуре становится апериодическим. При R = 0 в контуре имеет место незатухающее гармоническое колебание с частотой
осциллограммы U R (t) и U C (t) будут иметь вид, показанный на рис.1,д и 2,г.
.
. (4.34)
. (4.35)
. (4.36)
. (4.37)
, (4.38)
. (4.39)
. (4.41)
(4.42)
;
; (4.43)
. (4.44)
. (4.45)
; .
- частота свободных затухающих колебаний. Решение уравнения (4.36) имеет вид
(4.50)
. (4.51)
. (4.52)
. (4.53)
. (4.55)
(4.56)
. (4.57)
. (4.58)
(4.61)
(4.62)
. (4.63)
. (4.64)
. В реальных контурах R ≠ 0, поэтому в них имеют место затухающие колебания.